|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[62] Не все значения a соответствуют этому требованию. Чтобы a было квадратичным вычетом по n, оно должно быть квадратичным вычетом по модулю всех простых сомножителей n. Например, если p = 7, квадратичными вычетами являются числа 1, 2, и 4: 12 = 1 = 1 (mod 7) 22 = 4 = 4 (mod 7) 32 = 9 = 2 (mod 7) 42 = 16 = 2 (mod 7) 52 = 25 = 4 (mod 7) 62 = 36 = 1 (mod 7) Заметьте, что каждый квадратичный вычет дважды появляется в этом списке. Значений x, удовлетворяющих любому из следующих уравнений, не существует: x2 = 3 (mod 7) x2 = 5 (mod 7) x2 = 6 (mod 7) Эти числа - 3, 5 и 6 - не являются квадратичными вычетами по модулю 7. Хотя я этого и не делаю, несложно доказать, что когда p нечетно, существует в точности ( p - 1)/2 квадратичных вычетов по модулю p, и столько же чисел, не являющихся квадратичными вычетами по модулю p. Кроме того, если a - это квадратичный вычет по модулю p, то у a в точности два квадратных корня, один между 0 и (p-1)/2, а второй - между (p - 1)/2 и (p - 1). Один из этих квадратных корней одновременно является квадрати ч-ным остатком по модулю p, он называется главным квадратным корнем. Если n является произведением двух простых чисел, p и q, то существует ровно (p - l)(q - 1)/4 квадратичных вычетов по модулю n. Квадратичный вычет по модулю n является совершенным квадратом по модулю n, потому что для того, чтобы быть квадратом по модулю n, вычет должен быть квадратом по модулю p и квадратом по модулю q. Например, существует одиннадцать квадратичных остатков mod 35: 1, 4, 9, 11, 15, 16, 21, 25, 29 и 30. У каждого квадратичного вычета ровно четыре квадратных корня. Символ Лежандра Символ Лежандра, L(a,/?), определен, если a - это любое целое число, а p - простое число, большее, чем 2. Он равен 0, 1 или -1. L(a,p) = 0, если a делится на p. L(a,p) = 1, если a - квадратичный вычет по модулю p. L(a,p) = -1, если a не является квадратичным вычетом по модулю p. L(a,p) можно рассчитать следующим образом: L(a,p = a(p-1)/2 mod p Или можно воспользоваться следующим алгоритмом: 1.Если a = 1, то L(a,p) = 1 2.Если a четно, то L( a,p) = L(a/2,p) * "2-1)/8 3.Если a нечетно (и Ф 1), то L(a,p)= L(p mod a, p)*(-1)(a-1)(p-1)/4 Обратите внимание, что этот метод также является эффективным способом определить, является ли a квадратичным вычетом по модулю p (для простого числа p). Символ Якоби Символ Якоби, J(a,n), представляет собой обобщение символа Лежандра на составные модули, он определ я-ется для любого целого a и любого нечетного целого n. Функция удобна при проверке на простоту. Символ Яко-би является функцией на множестве полученных вычетов делителей n и может быть вычислен по различным формулам [1412]. Вот один из способов: Определение 1: J( a,n) определен, только если n нечетно. Определение 2: J(0, n) = 0. 0пределение 3: Если n - простое число, то символ Якоби J( a,n) = 0, если a делится на n. 0пределение 4: Если n - простое число, то символ Якоби J( a,n) = 1, если a - квадратичный вычет по модулю 0пределение 5: Если n - простое число, то символ Якоби J( a,n) = -1, если a не является квадратичным вычетом по модулю n. 0пределение 6: Если n - составное число, то символ Якоби J(a,n) = J(a,/;1)* ... * J(a,p„), где p1, ... , pm - это разложение n на простые сомножители. Следующий алгоритм рекурсивно рассчитывает символ Якоби: Правило 1: J(1,n) = 1 Правило 2: J(a*b,n) = J(a,n)* J(b,n) Правило 3: J(2,n) =, если (n2-1) /8 нечетно, и -1 в противном случае Правило 4: J(a,n)= J((a mod n),n) Правило 5: J(a, b1*b2) = J(a, b1)* J(a, b2) Правило 6: Если наибольший общий делитель a и b = 1, а также a и b нечетны: Правило 6a: J(a,b)= J(b, a), если (a - l)(b - 1)/4 четно Правило 6b: J(a,b)= -J(b, a), если (a - l)(b - 1)/4 нечетно Вот алгоритм на языке C: /* Этот алгоритм рекурсивно вычисляет символ Якоби */ int jacobi(int a, int b) { int g; assert(odd(b)); if (a >= b) a %= b; /* по правилу 4 */ if (a == 0) return 0; /* по определению 1 */ if (a == 1) return 1; /* по правилу 1 */ if (a < 0) if ((b-l)/2 % 2 == 0) return jacobi(-a,b); return -jacobi(-a,b); if (a % 2 == 0) /* a четно */ if (((b*b -1)/8) % 2 == 0) return +jacobi(a/2,b); return -jacobi(a/2,b); /* по правилам 3 и 2 */ g = gcd(a,b); assert(odd(a)); /* это обеспечивается проверкой (a % 2 == 0) */ if (g == a) /* b делится на a */ return 0; /* по правилу 5 */ else if (g != 1) return jacobi(g,b)*jacobi(a/g,b); /* по правилу 2 */ else if (((a-l)*(b-l)/4) % 2 == 0) return +jacobi(b,a); /* по правилу 6a */ return -jacobi(b,a); /* по правилу 6b */ Если заранее известно, что n - простое число, вместо использования предыдущего алгоритма просто вычи с-лите a((n-1)/2) mod n, в этом случае J(a,n) эквивалентен символу Лежандра. Символ Якоби нельзя использовать для определения того, является ли a квадратичным вычетом по модулю n (если, конечно, n не является простым числом). Обратите внимание, что если J( a,n) = 1 и n - составное число, то утверждение, что a является квадратичным вычетом по модулю n, не обязательно будет истиной. Например: J(7,143) = J(7,11)* J(7,13) == 1 Однако не существует таких целых чисел x, что x2 = 7 (mod 143). Целые числа Блюма Если p и q - два простых числа, конгруэнтных 3 по модулю 4, то n = pq иногда называют целым числом Блюма. Если n - это целое число Блюма, у каждого квадратичного вычета ровно четыре квадратных корня, один из которых также является квадратом - это главный квадратный корень. Например, главный квадратный корень 139 mod 437 - это 24. Остальные три корня - это 185, 252 и 413. Генераторы Если p - простое число, и g меньше, чем p то g называется генератором по модулю p если для каждого числа b от 1 до p - 1 существует некоторое число a, что ga = b (mod p). Иными словами, g является примитивом по отношению к p. Например, если p = 11, то 2 - это генератор по модулю 11: 210 = 1024 = 1 (mod 11) 21= 2 = 2 (mod 11) 28= 256 = 3 (mod 11) 22= 4 = 4 (mod 11) 24= 16 = 5 (mod 11) 29= 512 = 6 (mod 11) 27 = 128 = 7 (mod 11) 23= 8 = 8 (mod 11) 26 = 64 = 9 (mod 11) 25= 32 = 10 (mod 11) Каждое число от 1 до 10 может быть представлено как 2 a (mod p). Для p = 11 генераторами являются 2, 6, 7 и 8. Другие числа не являются генераторами. Например, генератором не является число 3, потому что не сущ е-ствует решения для 3a = 2 (mod 11) В общем случае проверить, является ли данное число генератором, нелегко. Однако задщача упрощается, е с-ли известно разложение на множители для p - 1. Пусть q1, q2, ... , qn - это различные простые множители p - 1. Чтобы проверить, является ли число g генератором по модулю p вычислите gfr-1)/q mod p для всех значений q = q1, q2, ... , qn. Если это число равно 1 для некоторого q, то g не является генератором. Если для всех значений q рассчитанное значение не равно 1, то g - это генератор. Например, пусть p = 11. Простые множители p - 1 = 10 - это 2 и 5. Для проверки того, является ли число 2 генератором, вычислим: 2(11-1)/5 (mod 11) = 4 2(11-1)/2 (mod 11) = 10 Ни один из ответов не равен 1, поэтому 2 - это генератор. Проверим, является генератором ли число 3: 3(11-1)/5 (mod 11) = 9 3(11-1)/2 (mod 11) = 1 Следовательно, 3 - это не генератор. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||