Постоянные

Линейные

Квадратичные

Кубические

Экспоненциальные

0(n2) 0(n3) 0(2n)

106 101 101 103

1 мкс 1 с

11.6 дня 32000 лет

В 10301006 раз больше, чем время существования вселенной

При условии, что единицей времени для нашего компьютера является микросекунда, компьютер может в ы-полнить постоянный алгоритм за микросекунду, линейный - за секунду, а квадратичный - за 11.6 дня. Выполн е-ние кубического алгоритма потребует 32 тысяч лет, что в принципе реализуемо, компьютер, конструкция кот о-рого позволила бы ему противостоять следующему ледниковому периоду, в конце концов получил бы решение. Выполнение экспоненциального алгоритма тщетно, независимо от экстраполяции роста мощи компьютеров, параллельной обработки или контактов с инопланетным суперразумом.

Взглянем на проблему вскрытия алгоритма шифрования грубой силой. Временная сложность такого вскр ы-тия пропорциональна количеству возможных ключей, которое экспоненциально зависит от длины ключа. Если n - длина ключа, то сложность вскрытия грубой силой равна 0(2 n). В разделе 12.3 рассматривается дискуссия об использовании для DES 56-битового ключа вместо 112-битового. Сложность вскрытия грубой силой при 56-битовом ключе составляет 256, а при 112-битовом ключе - 2112. В первом случае вскрытие возможно, а во втором - нет.

Сложность проблем

Теория сложности также классифицирует и сложность самих проблем, а не только сложность конкретных алгоритмов решения проблемы. (0тличным введением в эту тему являются [600, 211, 1226], см. также [1096, 27, 739].) Теория рассматривает минимальное время и объем памяти, необходимые для решения самого трудн ого варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат с бесконечной лентой памяти для чтения-записи и является реалистичной моделью вычислений.

Проблемы, которые можно решить с помощью алгоритмов с полиномиальным временем, называются р е-шаемыми, потому что для разумных входных данных обычно могут быть решены за разумное время. (Точное определение "разумности" зависит от конкретных обстоятельств.) Проблемы, которые невозможно решить за полиномиальное время, называются нерешаемыми, потому что вычисление их решений быстро становится н е-возможным. Нерешаемые проблемы иногда называют трудными. Проблемы, которые могут быть решены только с помощью суперполиномиальных алгоритмов, вычислительно нерешаемы, даже при относительно м алых значениях n.

Что еще хуже, Алан Тьюринг доказал, что некоторые проблемы принципиально неразрешимы. Даже отвлекаясь от временной сложности алгоритма, нево зможно создать алгоритм решения этих проблем.

Проблемы можно разбить на классы в соответствии со сложностью их решения. Самые важные классы и их предполагаемые соотношения показаны на 10-й. (К несчастью, лишь малая часть этих утверждений может быть доказана математически.)

Рис. 11-1. Классы сложности

Находящийся в самом низу класс P состоит из всех проблем, которые можно решить за полиномиальное время. Класс NP - из всех проблем, которые можно решить за полиномиальное время только на недетермин и-рованной машине Тьюринга: вариант обычной машины Тьюринга, которая может делать предположения. М а-шина предполагает решение проблемы - либо "удачно угадывая", либо перебирая все предположения пара л-лельно - и проверяет свое предположение за полиномиальное время.

Важность NP в криптографии состоит в следующем: многие симметричные алгоритмы и алгоритмы с о т-крытыми ключами могут быть взломаны за недетерминированное полиномиальное время. Для данного шифр о-текста C, криптоаналитик просто угадывает открытый текст, X, и ключ, к, и за полиномиальное время выполняет алгоритм шифрования со входами X и к и проверяет, равен ли результат C. Это имеет важное теоретическое значение, потому что устанавливает верхнюю границу сложности криптоанализа этих алгоритмов. На практике, конечно же, это выполняемый за полиномиальное время детерминированный алгоритм, который и ищет кри п-тоаналитик. Более того, этот аргумент неприменим ко всем классам шифров, конкретно, он не применим для одноразовых блокнотов - для любого C существует множество пар X, к, дающих C при выполнении алгоритма шифрования, но большинство этих X представляют собой бессмысленные, недопустимые открытые тексты.

Класс NP включает класс P, так как любая проблема, решаемая за полиномиальное время на детерминир о-ванной машине Тьюринга, будет также решена за полиномиальное время на недетерминированной машине Тьюринга, просто пропускается этап предпол ожения.

Если все NP проблемы решаются за полиномиальное время на детерминированной машине, то P = NP. Хотя кажется очевидным, что некоторые NP проблемы намного сложнее других (вскрытие алгоритма шифрования грубой силой против шифрования произвольного блока шифротекста), никогда не было доказано, что P Ф NP (или что P = NP). Однако, большинство людей, работающих над теорией сложности, убеждены, что эти классы неравны.

Что удивительно, можно доказать, что конкретные NP-проблемы настолько же трудны, как и любая пробл е-ма этого класса. Стивен Кук (Steven Cook) доказал [365], что проблема Выполнимости (Satisfiability problem, дано правильное логическое выражение, существует ли способ присвоить правильные значения входящим в него переменным так, чтобы все выражение стало истиной?) является NP-полной. Это означает, что, если проблема Выполнимости решается за полиномиальное время, то P = NP. Наоборот, если может быть доказано, что для любой проблемы класса NP не существует детерминированного алгоритма с полиномиальным временем решения, доказательство покажет, что и для проблемы Выполнимости не существует детерминированного алг о-ритма с полиномиальным временем решения. В NP нет проблемы труднее, чем проблема Выполнимости.

С тех пор, как основополагающая работа Кука была опубликована, было показано, что существует множес т-во проблем, эквивалентных проблеме Выполнимости, сотни их перечислены в [600], ряд примеров приведен ниже. Из-за эквивалентности я полагаю, что эти проблемы также являются NP-полными, они входят в класс NP и так же сложны, как и любая проблема класса NP. Если бы была доказана их решаемость за детерминир о-ванное полиномиальное время, вопрос P против NP был бы решен. Вопрос, верно ли P = NP, является центральным нерешенным вопросом теории вычислительной сложности, и не ожидается, что он будет решен в ближайшее время. Если кто-то покажет, что P = NP, то большая часть этой книги станет ненужной: как объя снялось ранее многие классы шифров тривиально взламываются за недетерминированное полиномиальное вр е-

мя. Если P = NP, то они вскрываются слабыми, детерминированными алгоритмами.

Следующим в иерархии сложности идет класс PSPACE. Проблемы класса PSPACE могут быть решены в полиномиальном пространстве, но не обязательно за полиномиальное время. PSPACE включает NP, но ряд проблем PSPACE кажутся сложнее, чем NP. Конечно, и это пока недоказуемо. Существует класс проблем, так называемых PSPACE-полных, обладающих следующим свойством: если любая из них является NP-проблемой, то PSPACE = NP, и если любая из них является P-проблемой, то PSPACE = P.

И наконец, существует класс проблем EXPTIME. Эти проблемы решаются за экспоненциальное время. М о-жет быть действительно доказано, что EXPTIME-полные проблемы не могут быть решены за детерминир о-ванное полиномиальное время. Также показ ано, что P не равно EXPTIME.

NP-полные проблемы

Майкл Кэри (Michael Carey) и Дэвид Джонсон (David Johnson) составили список более чем 300 NP-полных проблем [600]. Вот некоторые:

-Проблема путешествующего коммивояжера. Путешествующему коммивояжеру нужно посетить разли ч-ные города, используя только один бак с горючим (существует максимальное расстояние, которое он м о-жет проехать). Существует ли маршрут, позволяющий ему посетить каждый голод только один раз, и с-пользуя этот единственный бак с горючим? (Это обобщение проблемы гамильтонова пути - см. раздел

-Проблема тройного брака. В комнате n мужчин, n женщин и n чиновников (священников, раввинов, кого угодно). Есть список разрешенных браков, записи которого состоят из одного мужчины, одной женщины и одного регистрирующего чиновника. Дан этот список троек, возможно ли построить n браков так, чтобы любой либо сочетался браком только с одним человеком или регистрировал только один брак?

-Тройная выполнимость. Есть список n логических выражений, каждое с тремя переменными. Например: если (x и у) то z, (x и w) или (не z), если ((не и и не x) или (z и (и или не x))) то (не z и и) или x), и т.д. Существует ли правильные значения всех переменных, чтобы все утверждения были истинными? (Это ч а-стный случай упомянутой выше проблемы Выполнимости.)

11.3 Теория чисел

Это не книга по теории чисел, поэтому я только набросаю ряд идей, используемых в криптографии. Если вам нужно подробное математическое изложение теории чисел, обратитесь к одной из этих книг: [1430, 72, 1171, 12, 959, 681, 742, 420]. Моими любимыми книгами по математике конечных полей являются [971, 1042]. См. также [88, 1157, 1158, 1060].

Арифметика вычетов

Вы все учили математику вычетов в школе. Иногда ее называли "арифметикой часов". Если Милдред сказ ала, что она будет дома к 10:00, и опоздала на 13 часов, то когда она придет домой, и на сколько лет отец лишит ее водительских прав? Это арифметика по модулю 12. Двадцать три по модулю 12 равно 11.

(10 + 13) mod 12 = 23 mod 12 = 11 mod 12

Другим способом записать это является утверждение об эквивалентности 23 и 11 по модулю 12: 10 + 13 = 11 (mod 12)

В основном, a = b (mod n), если a = b + kn для некоторого целого k. Если a неотрицательно и b находится между 0 и n, можно рассматривать b как остаток при делении a на n. Иногда, b называется вычетом a по модулю n. Иногда a называется конгруэнтным b по модулю n (знак тройного равенства, =, обозначает конгруэнтность). 0дно и то же можно сказать разными способами.

Множество чисел от 0 до n-1 образует то, что называется полным множеством вычетов по модулю n. Это означает, что для любого целого a, его остаток по модулю n является некоторым числом от 0 до n-1.

0перация a mod n обозначает остаток от a, являющийся некоторым целым числом от 0 до n-1. Эта операция называется приведением по модулю. Например, 5 mod 3 = 2.

Это определение mod может отличаться от принятого в некоторых языках программирования. Например, оператор получения остатка в языке PASCAL иногда возвращает отрицательное число. 0н возвращает число между -(n-1) и n-1. В языке C оператор % возвращает остаток от деления первого выражения на второе, оно может быть отрицательным числом, если любой из операндов отрицателен. Для всех алгоритмов в этой книге проверяйте, что вы добавляете n к результату операции получения остатка, если она возвращает отрицательное число.