4. УВЕЛИЧЕНИЕ СТЕПЕНИ СВЁРТКИ: ПРОИЗВОДСТВО КОРТЕЖЕЙ

Начнем с примера использования свёртки для создания кортежей рассмотрим функцию sumlength, которая возвращает сумму и длину списка чисел:

sumlength sumlength

[Int] -> (Int, Int)

(sum xs, length xs)

С помощью объединения определений функций sum и length с использованием оператора свёртки, описанная ранее функция sumlength, возвращающая пару чисел из списка чисел, может быть определена с использованием свёртки:

sumlength= fold (\n (x, y) -> (n + x, 1 + y)) (0, 0)

Это определение более эффективно, чем первое, т.к. обрабатываемый список просматривается один раз. На основании этого примера получаем, что любое двойное применение свёртки к одному и тому же списку, может быть всегда заменено единственным использованием свёртки, который генерирует пару, с использованием так называемого свойства «бананового соединения» («banana split» property) оператора свёртки (Meijer, 1992). Такое странное название этого свойства появилось из-за того, что оператор свёртки иногда записывается с использованием скобок ( ), которые напоминают бананы, а соединяющий их оператор иногда называют соединением. Следовательно, их комбинацию можно назвать банановым соединением!

Приведём более интересный пример, рассмотрим функцию dropWhile p, которая удаляет начальные элементы из списка, пока они удовлетворяют предикату p:

dropWhile dropWhile p [] dropWhile p (x:xs)

(a -> Bool) -> ([a] -> [a])

if p x then dropWhile p xs else x:xs

Предположим, что мы хотим переопределить эту функцию с использованием оператора свёртки. Используя универсальность оператора, заключаем, что равенство dropWhile p = fold f v эквивалентно следующим двум уравнениям:

dropWhile p [] dropWhile p (x:xs)

f x (dropWhile p xs)

Из первого уравнения получаем, что v = []. Из второго уравнения мы попытаемся вывести определение для f следующим образом:

dropWhile p (x:xs)

if p x then dropWhile p xs else x:xs) if p x then yx else x:xs

f x (dropWhile p xs) f x (dropWhile p xs) f x ys

К сожалению, последняя строка не является правильным определением для f, потому что переменная xs оказывается свободной. Оказывается, не возможно определить

£ сс

функцию dropWhile p, непосредственно используя, оператор свёртки, однако возможно косвенно, если ввести дополнительную функцию, связывающую эту переменную:

dropWhile dropWhile p xs

(a -> Bool) -> ([a] -> ([a], [a])) (dropWhile p xs, xs)

Она разбивает на пары результат применения dropWhile p к списку, и может быть переопределена с использованием свёртки. Применяя свойство универсальности, получаем, что равенство dropWhile p = fold f v эквивалентно следующим двум уравнениям:

dropWhile p [] dropWhile p (x:xs)

f x (dropWhile p xs)

Из первого уравнения получаем, что v = ([], []). Из второго уравнения мы попытаемся вывести определение для f следующим образом:

dropWhile p (x:xs) (dropWhile p (x:xs), x:xs)

(if p x then dropWhile p xs else x:xs, x:xs) (if p x then ys else x:xs, x:xs)

f x(dropWhile p xs)

f x(dropwhile p xs, xs)

f x(dropWhile p xs, xs)

f x(ys, xs)

Заметьте, что определение f, написанное в последней строке - корректно, т.к. все переменные связаны. В итоге получаем, что с использованием универсальности оператора свёртки мы получили что:

dropWhile p =

fold f v

f x (ys, xs) = v=

(if p x then ys else x:xs, x:xs)

([], [])

Это определение удовлетворяет уравнению dropWhilepxs = (dropWhilepxs, xs), но не использует dropWhile. Следовательно, функция dropWhile непосредственно может быть переопределена просто, как dropWhilep = fst. dropWhilep.

В заключение, для функции dropWhile , возвращающей пару из желательного результата и списка параметров, мы показали, что функция dropWhile может быть переопределена в терминах свёртки, как и требовалось в примере. На самом деле полученный результат является общей теоремой (Meertens, 1992), которая говорит о том, что любая функция, обрабатывающая конечные списки и составляющая пару из желаемого результата и параметров списка, всегда может быть переопределена в терминах свёртки, однако, это не всегда бывает выгодно. Оригинальное определение (возможно рекурсивное) для функции может оказаться более удобным.

£ то

св а: =з

4.1. Примитивная рекурсия

В этом пункте мы покажем, что этому при использовании техники составления картежей (см. п. 4) каждая функция, определённая с использованием примитивной рекурсии и обрабатывающая списки, может быть переопределена в терминах свёртки. Вспомним, что оператор свёртки инкапсулирует простой образец рекурсии, и применим это для определения следующей функции h, который обрабатывает списки:

h (x:xs)

g x (h xs)

Такие функции могут быть переопределены с использованием равенства h = fold g v. Мы обобщим этот образец рекурсии до примитивной рекурсии в двух шагах. Прежде всего, вводим дополнительный аргумент y для функции h, который будет обрабатываться новой функцией f, и в случае рекурсии, оставляем неизменными функции g и h. Таким образом, рассмотрим следующий образец рекурсии для определения функции h:

h y (x:xs)

g y x (h y xs)

Простым наблюдением, или с помощью обычного применения универсальности свёртки, функция h y может быть переопределена следующим образом:

h y= fold (g y) (f y)

На втором шаге мы вводим список xs, как дополнительный аргумент к вспомогательной функции g. Таким образом, мы рассматриваем следующий образец для определения h:

h y (x:xs)

g y x xs (h y xs)

Этот образец рекурсии называют примитивной рекурсией (Kleene, 1952). Технически, стандартное определение примитивной рекурсии требует, чтобы y был конечной последовательностью аргументов. Однако, в Haskell, рассматривая случай единственного аргумента, y оказывается вполне подходящим.

Чтобы переопределить примитивно рекурсивные функции в терминах свёртки, мы должны решить уравнение h y = fold ij для функции i и значения j. Непосредственно решить его невозможно, однако, возможно решить косвенно при помощи введения более общей функции:

k y xs= (h y xs, xs)

которая разбивает на пары результат применения h y к списку с самим списком, и может быть переопределена с использование свёртки. Воспользовавшись универсальностью оператора свёртки, получаем, что равенство к y = fold i j эквивалентно следующим двум уравнениям: