£ то

£ то

3. УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ

Как и сам оператор свёртки, свойство его универсальности происходит из теории рекурсий. Впервые этим свойством в функциональном программировании воспользовался Malcolm (1990a) в его обобщении теории списков (Bird, 1989; Meertens, 1983). Для конечных списков свойство универсальности оператора свёртки может быть задано как равенство между двумя определениями функции g для обработки списков:

[] =

(x:xs) =

f x (g xs)

fold f v

Подставляя справа налево в оба равенства g = fold f v, получаем рекурсивное определение для оператора fold. И, наоборот, подставляя слева направо в два уравнения для g, получаем, что g = fold f v использует прямое доказательство по индукции для конечных списков (Bird, 1998). Универсальное свойство показывает, что для конечных списков функция fold f v - не просто решение этих уравнений, а фактически их единственное решение.

Преимущество универсальности оператора свёртки в том, что его использование подтверждает два предположения, требуемых для конкретного образца доказательства по индукции. В особых случаях, когда, проверяя эти два предположения (которые могут быть сделаны без использования индукции), мы можем обратиться к универсальному свойству для завершения индуктивного доказательства того, что g = fold f v. Таким же образом универсальность оператора свёртки инкапсулирует простой образец индуктивного доказательства по отношению к спискам, так же, как и сам оператор свёртки инкапсулирует простой образец рекурсии.

Универсальное свойство свёртки может быть обобщено, для бесконечных списков и для других частных случаев, когда использование этого свойства может быть удобным (Bird, 1998). Однако, для простоты понимания, в этом руководстве мы будем рассматривать только конечные списки.

3.1. Универсальность как принцип доказательства

На основании вышесказанного, универсальное свойство оператора свёртки может выступать как принцип доказательства, при котором можно избежать индуктивных доказательств. В качестве простого примера, рассмотрим следующее уравнение между функциями, которые обрабатывают список чисел:

(+1) . sum = fold (+) 1

£ сс

Функция слева суммирует список и затем увеличивает результат на единицу. Функция справа обрабатывает список, заменяя каждый (:) функцией (+) и пустой список [] единицей. Равенство показывает, что эти функции всегда возвращают одинаковые результаты, если их применить к одному и тому же списку.

Чтобы доказать вышеупомянутое уравнение, заметим, что оно соответствует правой части g = fold f v универсального свойства оператора свёртки, g = (+1) . sum, f = (+), и v = 1. Следовательно, пользуясь свойством универсальности оператора свёртки, получаем, что равенство эквивалентно следующим двум уравнениям:

((+1) ((+1)

sum) [] sum) (x:xs)

(+) x (((+1)

sum) xs)

На первый взгляд, они могут показаться более сложными, чем исходное уравнение. Однако, применение композиции и секционирования даёт:

sum [] +1=1

sum (x:xs) +1= x + (sum xs + 1)

что может быть проверено с помощью несложных вычислений, приведённых в двух колонках:

sum [] + 1 = {определение sum} 0 + 1 = {определение +}

sum (x:xs) + 1 = { определение sum} (x + sum xs) + 1 = { определение +} x + (sum xs + 1)

На этом доказательство заканчивается. Обычно это доказательство требовало бы явного использования индукции. Однако в нём использование индукции было инкапсулировано c помощью универсального свойства оператора свёртки, так что в итоге доказательство сведено к использованию одной операции и сопровождающих её два простых вычисления.

Вообще, любые две функции, работающие со списками, которые могут быть доказаны при помощи индукции, также могут быть доказаны с использованием универсальности оператора fold, придерживаясь того, что функции могут быть выражены с помощью оператора свёртки. Степень выразительности оператора свёртки будет рассматриваться позже в статье.

3.2. Свойство объединения оператора свёртки

Теперь позвольте нам проанализировать пример с функцией sum и рассмотреть уравнение между функциями, которые обрабатывают список значений:

h . fold g w = fold f v

Это уравнение часто возникает, при рассмотрении программ, написанных с использованием свёртки. Оно не верно, но мы можем использовать универсальность

оператора свёртки для вычисления условий, при которых уравнение действительно будет верным. Уравнение соответствует правой части универсального свойства, откуда мы заключаем, что оно эквивалентно следующим двум уравнениям:

(h . fold g w) (h . fold g w)

[] =

(x:xs) =

f x ((h . fold g w) xs)

Упрощаем, пользуясь определением композиции:

h (fold g w [])

h (fold g w (x:xs))

что, в вычислений:

свою очередь,

f x (h (fold g w xs))

может быть упрощено

помощью двух следующих

h (fold g w []) =v

h w =v

h (fold g w (x:xs))=

h (g x (fold g w xs))=

h (g x y)=

f x (h (fold g w xs)) f x (h (fold g w xs))

f x (h y)

Таким образом, пользуясь универсальностью оператора свёртки, мы обошлись без явного использования индукции. Мы получили два простых условия, которых достаточно для того, чтобы гарантировать (для любых конечных списков), что композиция произвольной функции и оператор свёртки могут быть объединены в один оператор свёртки. Следуя этой интерпретации, свойство назвали - свойством объединения оператора свёртки, которое может быть определено следующим образом:

h (g x y)

f x (h y)

h . fold g w = fold f v

Впервые в функциональном программировании этим свойством воспользовался Malcolm (1990a) в обобщении более ранних работ (Bird, 1989; Meertens, 1983). Как и свойство универсальности, свойство объединения - способ доказательства, не требующий индукции. Фактически, для большинства практических примеров это свойство чаще оказывается более предпочтительным, чем свойство универсальности. В качестве примера снова рассмотрим уже знакомое равенство:

(+1) . sum = fold (+) 1

В предыдущем пункте это уравнение было доказано использованием свойства универсальности. Однако, при использовании свойства объединения оператора свёртки, полученное доказательство оказывается более простым. Прежде всего, мы заменяем функцию sum определением с использованием свёртки, данного ранее: