Целевая

Рис.5.2. Проблема локальных минимумов.

Полезная стратегия для избежания подобных проблем состоит в больших начальных шагах и постепенном уменьшении размера среднего случайного шага. Это позволяет сети вырываться из локальных минимумов и в то же время гарантирует окончательную стабилизацию сети.

Ловушки локальных минимумов досаждают всем алгоритмам обучения, основанным на поиске минимума, включая персептрон и сети обратного распространения, и представляют серьезную и широко распространенную трудность, которой часто не замечают. Стохастические методы позволяют решить эту проблему. Стратегия коррекции весов, вынуждающая веса принимать значение глобального оптимума в точке В, возможна.

В качестве объясняющей аналогии предположим, что на рис. 5.2 изображен шарик на поверхности в коробке. Если коробку сильно потрясти в горизонтальном направлении, то шарик будет быстро перекатываться от одного края к другому. Нигде не задерживаясь, в каждый момент шарик будет с равной вероятностью находиться в любой точке поверхности.

Если постепенно уменьшать силу встряхивания, то будет достигнуто условие, при котором шарик будет на короткое время «застревать» в точке В. При еще более слабом встряхивании шарик будет на короткое время останавливаться как в точке А, так и в точке В. При непрерывном уменьшении силы встряхивания будет достигнута критическая точка, когда сила встряхивания достаточна для перемещения шарика из точки А в точку В, но недостаточна для того, чтобы шарик мог вскарабкаться из В в А. Таким образом, окончательно шарик остановится в точке глобального минимума, когда амплитуда встряхивания уменьшится до нуля.

Искусственные нейронные сети могут обучаться по существу тем же самым образом посредством случайной коррекции весов. Вначале делаются большие случайные коррекции с сохранением только тех изменений весов, которые уменьшают целевую функцию. Затем средний размер шага постепенно уменьшается, и глобальный минимум в конце концов достигается.

Это сильно напоминает отжиг металла, поэтому для ее описания часто используют термин «имитация отжига». В металле, нагретом до температуры, превышающей его точку плавления, атомы находятся в сильном беспорядочном движении. Как и во всех физических системах, атомы стремятся к состоянию минимума энергии (единому кристаллу в данном случае), но при высоких температурах энергия атомных движений препятствует этому. В процессе постепенного охлаждения металла возникают все более низкоэнергетические состояния, пока в конце концов не будет достигнуто наинизшее из возможных состояний, глобальный минимум. В процессе отжига распределение энергетических уровней описывается следующим соотношением:

P(e) = exp(-e/k7)(5.1)

где Р(е) - вероятность того, что система находится в состоянии с энергией е; к -постоянная Больцмана; Т - температура по шкале Кельвина.

При высоких температурах Р(е) приближается к единице для всех энергетических состояний. Таким образом, высокоэнергетическое состояние почти столь же вероятно, как и низкоэнергетическое. По мере уменьшения температуры вероятность высокоэнергетических состояний уменьшается по сравнению с низкоэнергетическими. При приближении температуры к нулю становится весьма маловероятным, чтобы система находилась в высокоэнергетическом состоянии.

Больцмановское обучение

Этот стохастический метод непосредственно применим к обучению искусственных нейронных сетей:

1.Определить переменную Т, представляющую искусственную температуру. Придать Т большое начальное значение.

2.Предъявить сети множество входов и вычислить выходы и целевую функцию.

3.Дать случайное изменение весу и пересчитать выход сети и изменение целевой функции в соответствии со сделанным изменением веса.

4.Если целевая функция уменьшилась (улучшилась), то сохранить изменение веса.

Если изменение веса приводит к увеличению целевой функции, то вероятность сохранения этого изменения вычисляется с помощью распределения Больцмана:

P(c) = exp(-c/kT)(5.2)

где Р(с) - вероятность изменения с в целевой функции; к - константа, аналогичная константе Больцмана, выбираемая в зависимости от задачи; Т - искусственная температура.

Выбирается случайное число r из равномерного распределения от нуля до единицы. Если Р(с) больше, чем r, то изменение сохраняется, в противном случае величина веса возвращается к предыдущему значению.

Это позволяет системе делать случайный шаг в направлении, портящем целевую функцию, позволяя ей тем самым вырываться из локальных минимумов, где любой малый шаг увеличивает целевую функцию.

Для завершения больцмановского обучения повторяют шаги 3 и 4 для каждого из весов сети, постепенно уменьшая температуру Т, пока не будет достигнуто допустимо низкое значение целевой функции. В этот момент предъявляется другой входной вектор и процесс обучения повторяется. Сеть обучается на всех векторах обучающего множества, с возможным повторением, пока целевая функция не станет допустимой для всех них.

Величина случайного изменения веса на шаге 3 может определяться различными способами. Например, подобно тепловой системе весовое изменение w может выбираться в соответствии с гауссовским распределением:

P(w) = expo2/:?2)(5.2)

где P(w) - вероятность изменения веса на величину w, Т- искусственная температура.

Такой выбор изменения веса приводит к системе, аналогичной [З].

Так как нужна величина изменения веса Aw, а не вероятность изменения веса, имеющего величину w, то метод Монте-Карло может быть использован следующим образом:

1.Найти кумулятивную вероятность, соответствующую P(w). Это есть интеграл от P(w) в пределах от 0 до w. Так как в данном случае P(w) не может быть проинтегрирована аналитически, она должна интегрироваться численно, а результат необходимо затабулировать.

2.Выбрать случайное число из равномерного распределения на интервале (0,1). Используя эту величину в качестве значения P(w}, найти в таблице соответствующее значение для величины изменения веса.

Свойства машины Больцмана широко изучались. В работе [1] показано, что скорость уменьшения температуры должна быть обратно пропорциональна логарифму времени, чтобы была достигнута сходимость к глобальному минимуму. Скорость охлаждения в такой системе выражается следующим образом:

log(1 +1)