Синтез цифровых систем, который гарантирует совпадение переходных процессов в проектируемой системе и ее аналоговом эквиваленте, производится аналогичным образом, учитывая что

\¥а(8) = sLPat)],

где ht) - переходная функция аналогового эквивалента.

В цифровых системах, дискретная передаточная функция разомкнутой цепи которых

1 m-1 , .

b z + b

(1.116)

переходный процесс заканчивается за конечный промежуток времени, равный mT; в последующие дискретные моменты времени значения h[n] не изменяются и остаются равными h[m].

Если нули и полюса передаточной функции непрерывной части цифровой системы на плоскости комплексного переменного z расположены внутри круга единичного радиуса, то можно спроектировать систему, в которой длительность переходного процесса равняется одному периоду дискретности T.

При синтезе цифровых систем в частотной области желаемая дискретная передаточная функция проектируемой системы определяется частотными характеристиками аналогового эквивалента. В частности, частотный метод синтеза позволяет найти передаточную функцию разомкнутой цепи аналогового эквивалента Ws). Далее, как и в предыдущих случаях, по выражению (1.115) вычисляется дискретная передаточная функция цифрового корректирующего устройства.

После определения передаточных функций корректирующих устройств следующим этапом синтеза цифровой системы является их техническая реализация. Для этого используются следующие методы [9]:

1)метод программирования, применяемый в микропроцессорных системах и системах с компьютерами. Реализация корректирующего устройства сводится к составлению программы по его разностному уравнению;

2)метод, базирующийся на использовании цифровых фильтров, реализуемых на элементах цифровой техники по алгоритму, определяемому разностным уравнением корректирующего устройства.

В зависимости от вида представления передаточной функции цифрового фильтра различают разнообразные формы его структурных схем.

В самом общем случае дискретная передаточная функция корректирующего устройства имеет вид

W(z) Uz) b0 + b1z-1 +...+bkz-k B(z) K X(z) 1 + a z-1 +...+a z-k 1 + A(z

(1.117)

где U(z) и X(z) - z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Эта передаточная функция соответствует рекурсивному фильтру. Если A(z) = 0, то будет нерекурсивный фильтр.

Из передаточной функции (1.117) следует разностное уравнение корректирующего устройства

u[n]+ X a u[n-i] X b x[n-i],(1.118)

i 1i 0

решение которого представляет собой рекуррентную формулу:

u[n]= X bx[n-i]- X au[n-i].(1.119)

i 0i 1

Структурная схеме программной реализации решения разностного уравнения (1.119) приведена на рис. 1.18. Она соответствует прямому программированию [3]. Для аппаратной реализации прямой схемы цифрового фильтра требуется 2k линий задержки.

Более экономными являются канонические схемы, для реализации которых требуется количество линий задержки, равное порядку передаточной функции цифрового фильтра.

Для получения первой канонической схемы (рис. 1.19) уравнение (1.119) переписывают следующим образом:

u[n]= X b. f[n-i];

f[n]=x[n]- X a. f[n-i]

где f[n] - промежуточная переменная.

Рис. 1.18. Прямая схема цифрового фильтра

u£nl

Рис. 1.20. Вторая каноническая схема цифрового фильтра

Помимо рассмотренных канонических структур существуют и другие: последовательная и параллельная [9].

Для определения последовательной канонической схемы цифрового фильтра необходимо найти нули и полюса дискретной передаточной функции фильтра. При этом выражение (1.117) можно записать в виде

-х-2-1-0-х...х-1-. (1.120)

W(z) = k-01-

1 + a z + 1

1 + z z-1 k

Таким образом, цифровой фильтр состоит из последовательного соединения цифровых фильтров первого порядка, соответствующих вещественным полюсам (рис. 1.21,а), и фильтров второго порядка, соответствующих паре комплексно-сопряженных полюсов (рис. 1.21,б). Представление передаточной функции в виде (1.120) называется последовательным программированием, а структура фильтра - последовательной канонической схемой.

Представление передаточной функции цифрового фильтра в виде

Рис. 1.19. Первая каноническая схема цифрового фильтра

Вторая каноническая схема цифрового фильтра (рис. 1.20) получается аналогичным образом [3].

WK(z) = Е W(z) кki

(1.121)

называют параллельным программированием. Цифровой фильтр в этом случае представляет собой параллельное соединение фильтров первого и второго порядков. Такую структуру называют параллельной канонической схемой.

Z"1

4"H

Рис. 1.21. Каноническая схема цифрового фильтра: а - первого порядка; б - второго порядка

Кроме того, на практике широко используются типовые цифровые корректирующие звенья [3, 13].

1.10. Описание дискретных систем в пространстве состояний

Современная теория дискретных систем, так же как и непрерывных, базируется на описании их в пространстве состояний [9].

Рассмотрим дискретную систему m-го порядка с одним входом u[n] и одним выходом y[n], передаточная функция которой в общем виде может быть записана следующим образом

Y(z) U(z)

. m . m -1

b z + b z

1z + a z

(1.122)

y[n + m] + X a y[n + m- i] X b u[n + m- i],(1.123)

i 1i 0

которому соответствует структурная схема дискретной системы, приведенная на рис. 1.22.

y(n-hm)

1 * У(п)

Рис. 1.22. Структурная схема дискретной системы

Обозначив переменные на выходах соответствующих линий задержек через xi[n] - координаты состояния системы (i= 1, 2, ... , m), составим следующую систему из разностных уравнений первого порядка:

x1[n+1] = x2[n]+h1u[n]; x2[n+1] = x3[n]+h2u[n];

x [n+1] = x [n]+h u[n];

(1.124)

x (n+1) = - a x, [n] - a„ , x„[n] -... - ax [n] + h u[n];

y[n] = x1[n]+h0u[n].

Если порядок числителя передаточной функции окажется меньше порядка знаменателя, т.е. l < m, то b0 = , = bm-l-1 = 0.

Из дискретной передаточной функции (1.122) следует разностное уравне-

Неизвестные коэффициенты hi (i=0, 1, 2, m) определяются из условия эквивалентности системы разностных уравнений (1.124) исходному разностному уравнению (1.123) и вычисляются последовательно по формулам:

ho = bo; h = b - a1ho; h2 = b2 - a1h1 - a2ho;