Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[6]

1.7. Устойчивость импульсных систем

Как и для непрерывных систем, устойчивость импульсных систем является необходимым условием их работоспособности.

Устойчивость системы характеризуется ее свободным поведением, а свободное поведение определяется переходной составляющей процесса регулирования выходной величины. Линейная импульсная система называется устойчивой, если переходная составляющая процесса регулирования yn] затухает с течением времени.

Сформулированное условие устойчивости сводится к выполнению равен-

lim y ,а] = 0

для всех а из интервала 0 < а < 1. Если хотя бы для одного значения а

lim y ,а] = оо,(1.91)

то импульсная система называется неустойчивой. Если, наконец,

limy ,а]= const(1.92)

или не существует, то импульсная система находится на границе устойчивости.

В подавляющем большинстве случаев величина предела lim y [п,а] при любом а определяется его значением при а = 0. В тех

случаях, когда при а = 0 выполняется соотношение (1.90), а при а Ф 0 - любое из соотношений (1.91), (1.92) говорят о так называемой высокочастотной неустойчивости АИС.

Таким образом, чтобы оценить устойчивость системы, необходимо найти переходную составляющую процесса регулирования. Переходная составляющая процесса регулирования определяется решением однородного разностного уравнения замкнутой импульсной системы

a0y[n] ++ ... + ann-m] = 0,

где m - порядок системы.

Решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

a0 z + a1z + ... + am = 0;

Ci - постоянные коэффициенты, значения которых зависят от свойств системы, характера внешнего воздействия и относительного времени а.

Из решения (1.94) следует, что для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома замкнутой системы (полюса передаточной функции замкнутой импульсной системы Ф, а)) удовлетворяли условию

И< 1; i = 1, 2,

... , m.

Если хотя бы один корень zi > 1, система будет неустойчивой. Значением какого-либо корня zi = 1 при всех остальных zi < 1 определяется граница устойчивости импульсной системы.

Графически область устойчивости импульсной системы на плоскости z корней характеристического уравнения изображается единичным кругом (рис. 1.13).

► Re

Рис. 1.13. Области устойчивости на плоскости Z Таким образом, исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического полинома замкнутой импульсной системы относительно единичной окружности.

Критерии устойчивости используются для исследования устойчивости импульсных систем без нахождения корней характеристического уравнения. Для импульсных систем обобщаются все критерии устойчивости, используемые для исследования непрерывных систем.

Аналог критерия Рауса-Гурвица. Условия устойчивости формулируются в виде неравенств, накладывающих ограничения на коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (табл. 1.2).

Т а б л и ц а 1. 2 Условия устойчивости импульсных систем

где zi - корни характеристического уравнения

Степень


характеристического

Условия устойчивости

уравнения

a0+a1>0, a0-a1>0

a0+a1+a2>0, a0-a1+a2>0, a0-a2>0

a0+a1+a2+a3>0, a0-a1+a2-a3>0, a0(a0-a2)-a3(a3-a1)>0,

3(a0+a3)-a1 -a3>0

Сложность условий устойчивости резко возрастает с ростом степени m характеристического полинома замкнутой системы. Поэтому практически алгебраический критерий используется при m < 3.

Аналог критерия Михайлова. Для устойчивости линейной импульсной системы m-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(e JfflT) при изменении частоты со от 0 до п/T равнялось бы значению шп, то есть

Л arg D (e JfflT) = гптс

Здесь D (e JfflT) получается путем замены z на e полиноме замкнутой импульсной системы

0 < со < п/T.

в характеристическом

D(z) = a0zm + a1zm-1 + ... + am-1z + am , z = e JfflT.

На рис. 1.14 приведены аналоги кривых Михайлова для устойчивой и неустойчивой импульсной системы при m = 3.

Рис. 1.14. Аналоги годографов Михайлова

Аналог критерия Найквиста. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой импульсной системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы W(eJfflT) не охватывала точку с координатами (-1, J0 ). Для устойчивости замкнутой

системы при неустойчивой разомкнутой цепи требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1, J0) на угол рп (против часовой стрелки), где p - число полюсов разомкнутой цепи, лежащих вне единичного круга z = eJfflT.

C-i;jO) и=

► Re

статическая АИС астатическая АИС 1-го порядка

Рис. 1.15.АФЧХ устойчивых импульсных систем На рис. 1.15 показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых импульсных систем.

Для пользования критериями устойчивости Гурвица и Михайлова в обычной формулировке отображают внутренность круга единичного радиуса плоскости z на левую полуплоскость комплексной переменной w (рис. 1.16) с помощью конформного преобразования [5]

z -1 z+1

► Re

Рис. 1.16. Конформное преобразование

После подстановки z из (1.98) в (1.95) получим преобразованное характеристическое уравнение импульсной системы

1+ w 1 - w

+...+ a


которое приводится к виду

, ~ m - 1

+ a1 w +.

(1.100)

Все корни zi уравнения (1.95), лежащие внутри единичного круга, перейдут в левую полуплоскость w (рис. 1.16). Поэтому при использовании преобразованного характеристического уравнения (1.100) для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни wi (i = 1, 2, ... , m) имели отрицательные вещественные части. Границей устойчивости служит мнимая ось.

Для исследования устойчивости импульсных систем могут применяться также логарифмические частотные характеристики в той же формулировке, что и для обыкновенных линейных систем.

1.8. Переходные процессы в импульсных системах

Переходный процесс в импульсных системах определяется с помощью обратного z-преобразования, ряда Лорана, решения разностного уравнения, частотных методов, основанных на использовании вещественной или мнимой частотных характеристик замкнутой системы [9, 15, 17, 18].

Для расчета дискрет переходного процесса можно найти обратное z-преобразование изображения выходной величины системы y[n] = ZY)}. При этом следует воспользоваться формулой обращения (1.41), которая устанавливает, что дискретные значения переходного процесса

y[n] = У ReY (z)z

(1.101)

Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены также путем разложения изображения выходной величины Y(z) в ряд Лорана по степеням z-1

Y(z) = Y0 + Y1 z-1 + Y2 z-2 + Y3 z-3 + ...

(1.102)

Коэффициенты этого ряда определяют значения выходной величины замкнутой импульсной системы в дискретные моменты времени t = (n+а) Так как изображение Y(z) представляет собой отношение двух полиномов, то коэффициенты ряда Y0, Y1, Y2, ... могут быть получены делением полинома числителя на полином знаменателя. При малых периодах дискретности ряд сходится медленно и объем вычислительной работы значителен.

Пример. Определить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии на выходе импульсной системы, передаточная функция которой имеет следующий вид:

Ф (z) =

3.71z2-1.52z-1 5.74z3 - 7.69z2 + 4.12z-1

Р е ш е н и е. Z-изображение входного воздействия G(z)=z/(z-1). Следовательно, Y(z) = Ф(z)G(z) =

3.71z3 - 1.52z2 - z

5.74 z4 -13.43 z3 + 11.81z2 - 5.12 z+1 z -4

3.71z-1 - 1.52z -2 - z -3 5.74 -13.43 z-1 + 11.81z -2 - 5.12 z -3 + z -4

= 0.64z-1+1.25z-2+1.42z-3+1.34z-4+1.2z-5+1.11z-6+1.08z-7+...

где zi - полюсы выражения Y(z); i = 1, 2, k.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле

Полученные коэффициенты сведены в табл. 1.3, на основании которой на рис. 1.17 построена кривая переходного процесса.

ResY (z,а)zn-1 = lim (z- z )Y (z,а)zn-1,

а в полюсе кратности r ResY (z, а) z

(r -1)!

-[(z - z.)r Y (z, o)za-1].

Переходный процесс

Время t=nT

Выходная величина y[nT]

Т а б л и ц а 1. 3



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19]