вычислить установившуюся реакцию системы на решетчатое гармоническое воздействие g[nT] = gm sin[conT] произвольной частоты со.

Как и для обыкновенных линейных систем, рассматривают амплитудную, фазовую, вещественную и мнимую частотную характеристики:

А(со,с) = mod WV);

у(со,с) = arg WV);

ГДсо,с) = Re WV);

У(со,с) = Im WV).

Свойства частотных характеристик импульсных систем [13].

1.Кроме зависимости от частоты с характеристики зависят от относительного времени с. Графически это выражается серией кривых для различных значений с. Обычно достаточно одной характеристики при с = 0.

2.В соответствии с периодичностью частотной передаточной функции амплитудно-фазовая частотная характеристика W(eJfflT) полностью определяется своими значениями в интервале -п7 Т < со < п7 Т.

3.Так как вещественная частотная характеристика является четной функцией, а мнимая - нечетной, то достаточно рассматривать интервал частот 0 < со < п7 Т.

4.В крайних точках интервала 0 < со < п7 Т амплитудно-фазовая частотная характеристика принимает вещественные значения.

5.При уменьшении периода дискретности T, т.е. при увеличении частоты квантования с 0 = 2п/Т, частотные характеристики импульсных систем приближаются к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом частотный интервал 0 < со < п7 Т растягивается на всю ось со при T - 0.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы W(eJfflT) строится по точкам в интервале частот 0 < со < п7 Т.

Частотные характеристики импульсных систем, как следует из (1.77), описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно абсолютной псевдочастоты Л. Переход к псевдочастоте основан на переходе от z-преобразования к w -преобразованию с помощью подстановки

1+ w 1 - w

c последующей заменой комплексной переменной w на абсолютную псевдочастоту

w = JXT/2.(1.79)

При этом реальная частота со и псевдочастота Л связаны соотношением

X = itg-(1.80)

Удобство псевдочастоты заключается в том, что, как следует из (1.80), на частотах где выполняется условие raT < 2, она приближенно равна угловой частоте, т.е. Л « со. Нетрудно убедиться, что при изменении частоты от -п7 Т до +п7 Т псевдочастота принимает значение -со до +оо.

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z) к частотной характеристике W(jX) следует сделать замену

1+JXT/2

1 - JXT/2

то есть

W(jX) = W(z)

1+ JXT/2 1 - J XT/2

Полученное уравнение может быть использовано для построения логарифмических частотных характеристик.

Приближенный способ построения ЛЧХ импульсных систем [2]. Для удобства логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и высокочастотную, служит частота среза сос в предположении, что

2(1.83)

со < -. с T

где Т - период дискретности.

Последнее условие необходимо выполнять вследствие требований, предъявляемых к обеспечению запаса устойчивости и точности работы системы, и согласуется с теоремой Котельникова-Шеннона.

Рассмотрим методику построения ЛЧХ на примере АИС, включающей в себя экстраполятор нулевого порядка и непрерывную часть с передаточной функцией:

Wm (s):

k П (1 + tjs)

sr ПП (1 + T.s)

При построении вводят следующие предположения.

1.Величина, обратная периоду дискретности Т, больше половины частоты среза сос, т.е. сос < 2/Т.

2.Переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне -20 дб/дек.

3.Постоянным времени tj (j = 1, 2, m) соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

4.Имеется l (l < n) постоянных времени Ti (i = 1, 2, /), которым соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

При принятых допущениях для области низких частот передаточную функцию непрерывной части можно представить в виде

k П (1 + tjs)

sr П (1 + Tis)

а для области высоких частот

Кнвч (s):

s П (1 + Tis)

i = l + 1

По выражениям (1.85) и (1.86) на основании (1.64) и (1.82) получим частотные характеристики разомкнутой импульсной системы для области низких частот

W н (JX) = (1 - JXT/2) x и для области высоких частот

k П (1 + JXtj) j = 1J

Jxy П (1+JXT.)

i = 1 i

с (1 - JXT/2)

W в (JX)

1 + JX(T/2- Ty)

(JX) (1 +JXT/2)

где T = У T

i= l +1

Сравнение выражения (1.87) с (1.85) показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция импульсной системы может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой s = JX и умножением на дополнительный множитель (1 - JXT/2). Псевдочастота X в

этой области практически совпадает с угловой частотой со. Влиянием дополнительного множителя при построении частотных характеристик в низкочастотной области можно пренебречь, так как сос < 2/Т.

Таким образом, в области низких частот частотные характеристики импульсной системы совпадают с частотными характеристиками ее непрерывной части.

Начало логарифмических частотных характеристик в высокочастотной области (1.88) сливается с концом частотных характеристик, построенных в низкочастотной области. На основании (1.87) и (1.88) можно записать выражение результирующей частотной передаточной функции разомкнутой АИС

k П (1 + JXr.)

(1 - JXT/2)

1 + JX(T/2-T )

(JX)r П (1 + jXT.)

(1 + JXT/2)

где T = У T .

Это выражение представляет собой произведение элементарных типовых сомножителей, поэтому его легко использовать для построения логарифмических частотных характеристик импульсных систем. Результирующий фазовый сдвиг определяется как

y/(X) = - rx 90+ У arctg Xz + arctg X(T/2 - T ) - 2arctgXT/2-2 arctgXT.

Пример. Построить логарифмические частотные характеристики АИС с экстраполятором нулевого порядка и периодом дискретности импульсного элемента T = 4 с, передаточная функция непрерывной части которой

W (s) =

k(1 + 25 s)

s (1 + 0.5s)(1 + 0.3s)

Р е ш е н и е . Выбираем частоту среза сс < 2/Т < 0.5 c-1. В соответствии с заданными постоянными времени определяем сопрягающие частоты: со(;опр1=1/25=0.04 c-1 - низкочастотный диапазон; со(;опр2=1/0.5=2 c-1 - высокочастотный диапазон; со(;опр3=1/0.3=3.33 c-1 - высокочастотный диапазон.

Следовательно, получаем:

где Te = Т1+Т2=0.8;

k(1 + JX-25) (1 - JX-2)[1 + JX-1.2)]

(1 + JX - 2)

y/(X) = -2 x 90 + arctg 25X + arctg 1.2X - 2 arctg 2X ,

1=1/25=0.04; Xсопр2=1/2=0.5; Xсопрз=1/1.2=0.8 .

Асимптотические ЛАХ и ЛФХ, соответствующие полученным выражениям, представлены на рис. 1.12.

Рис. 1.12. ЛЧХ импульсной системы