при I z I >R=1/p , где p - радиус сходимости ряда.

Функция x[nT] называется оригиналом, а функция X(z) - изображением или z-пребразованием функции x[nT].

Преобразование, в котором z = esT, было введено Я.З.Цыпкиным под названием "дискретное преобразование Лапласа".

Z-пребразование (1.27) дает возможность получить из X(z) значение ординат решетчатой функции x[nT] в моменты квантования. Но в системах управления с непрерывными динамическими частями процесс непрерывен и между моментами n = 0, 1, 2 ... Для нахождения этих ординат необходимо рассмотреть последовательности для других дискретных моментов с тем же интервалом повторения, но смещенных на значение aT: t = (n+a)T при 0 < a < 1. Это можно делать с помощью модифицированного z-преобразования.

Модифицированное z-преобразование решетчатой функции x[nT+aT]:

X(z,a)=Z {x[nT,aT] }= Zx[nT,aT]x z-n .(1.28)

Функция X(z,a), определяемая выражением (1.28), называется z-преобразованием непрерывной функции времени x(t) и обозначается как

X(z,a) = Za {x(t)};(1.29)

z-преобразование функции x(t) можно также представить следующим образом:

X(z,a) = Za {X(s)},(1.30)

где X(s) - преобразование Лапласа от x(t). В этом случае подразумевается, что преобразованию подвергается функция времени и запись (1.30) носит чисто формальный характер.

Т а б л и ц а 1. 1

Z - преобразования функций времени

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы [2, 15, 17], фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех a от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1.Свойство линейности. Если F1(z,a)=Za {f1(t)} и F2(z,a)=Za {f2(t)}, то

Za {af1(t) + a2f2(t)}= a F1(z,a) + a2 F2(z,a).(1.31)

2.Теорема сдвига (смещения). Если Za {f(t)} = F(z,a) и т - произвольное положительное число, тогда

Za{ f(t- т) }= К m F(z 1+a-T) , 0 <a<T (1.32) a[ z-mF(z, a-T) ,r<a< 1

где т =mT+ т T, m - целая, т - дробная часть числа т/T; если т = mT, тогда

Za {f(t-mT)}=z-mF(z,a).(1.33)

3.Изображение обратных разностей

Z{Vkf[nT]}= (1 - z-1)kF(z).(1.34)

4.Изображение конечных сумм:

полных Zj Zf [vT] 1 = -zjF(z),(1.35)

неполных

Z j Vf [vT]

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

f(oo)= lim f [nT]= lim-F(z)

n - соz - 1 z

начальное значение функции оригинала:

f(0)= lim f [nT]= lim F(z) .

n - 0z --со

которое можно переписать в виде

A(z)Y(z)=B(z)F(z),

где полиномы

A(z)= Z a z-i и B(z)= Z bz-i .

i= 0i = 0

Из (1.43) находим изображение выходной координаты

Y(z)=W(z)F(z), B(z) = b0 + V-1 +...+ b l z"l A(z) a + a z-1 +...+ a z-m

0 1m

(1.43) (1.44)

6. Свертка функций. Если F1(z) = Z{f1(t)} и F2(z) = Z{f2(t)}, то

Y(z) = F1(z) х F2(z) = Zj Z f1[kT] х f [(n-k)T] \ (1.39)

y[nT]= j Z f[kT]x f2[(n-k)T]

f[nT]=Z-1[F(z)] =

7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

f F(z)zn - .(1.41)

j2nT Ц = 1

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:

a0y[n]+a1y[n-1]+...+amy[n-m] = b0f[n]+b1f[n-1]+...+bif[n-l], (1.42) при m > l и y[n] = 0, f[n] = 0 для всех n < 0.

Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим

a0Y(z)+a1 z-1Y(z)+...+am z-mY(z) = b0F(z)+b1 z-1F(z)+...+bi z-lF(z),

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домно-жения числителя и знаменателя выражения (1.46) на zm . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции

, m л m - 1, m - l

bz + bz +...+ bz 0 1

az + a z +...+ a

Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.

Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией

W(z) =

az + a z+ a

Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на z-2. В результате получим

12 z-2 V-1+b2z -2 Y(z) W(z) =-1-2-х-=-1-2-= --

2-2-1-2 F(z)

az + az+ a z a + az + az rw

0120 12

На основании последнего выражения разностное уравнение будет aoy[n] + aiy[n-1] + а2у[п-2] = bif[n-1] + b2f[n-2]. Его решение при нулевых начальных условиях y[n] = 0, f[n] = 0 для всех n <

y[n] = [1/ao]x{bif[n-1] + b2f[n-2] - aiy[n-1] - a2y[n-2]}.

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы

Комплексный спектр решетчатой функции времени. Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n,a] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного со, определяемую следующим выражением:

а) = F(z,<r)

j ® T

при -co < со < CO

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену z = efflT, откуда следует, что функция z является периодической функцией со с периодом, равным 2n/T. По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией с того же самого периода:

. tj(w +-)T

F(ejC T,a) = F[e T ,a]

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений со, длина которого равна 2п/Т. В качестве такого интервала принят интервал

- <т<+ -. TT

Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

F(eJfflT,a) = А(со, a)xejv(ffl а) = ГДсо, а) + jV(ra, а),

где А(со, а), \/(со, а), ГДсо, а), V(k>, а) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции fn]. При фиксированном значении со спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, JV); при изменении со от -ж/T до +ж/Т, конец вектора F01) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.

1.4. Передаточные функции разомкнутых импульсных систем

Разомкнутая линейная амплитудная импульсная система (АИС) может быть схематически представлена в виде последовательного соединения импульсного элемента (ИЭ) и непрерывной части (НЧ) (рис. 1.6). Подобные системы называют импульсными фильтрами.

Рис. 1.6. Функциональная схема разомкнутой импульсной системы: ИЭ - импульсный элемент; НЧ - непрерывная часть

Импульсный элемент преобразует задающее воздействие g(t) в последовательность импульсов x*, амплитуда которых пропорциональна входному непрерывному сигналу. Импульсная последовательность после прохождения через непрерывную часть вследствие сглаживающих свойств последней превращается в непрерывную величину на выходе y(t).

При исследовании импульсной системы ее структуру приводят к расчетной схеме (рис. 1.7) путем замены импульсного элемента последовательным соединением простейшего импульсного элемента (ПИЭ) и непрерывного фильтра, который называется формирующим элементом (ФЭ). Простейший импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал в мгновенные импульсы в виде 8-функций, модулированные по площади, а формирующий элемент формирует импульс заданной формы из 8-функций, соответствующей форме выходного импульса реального импульсного элемента. Форма импульса реального импульсного элемента определяет импульсную функцию формирующего элемента \¥ФЭ(. Следовательно, передаточная функция