Рис. 2.26. Фазовый портрет оптимальной по быстродействию системы: AB - линия переключения

При построении оптимальных по быстродействию систем основной задачей является формирование функции управления, характеризующей переключение релейного элемента. На рис. 2.27 приведена структурная схема системы с нелинейной обратной связью.

Рис. 2.27. Структурная схема оптимальной по быстродействию системы

В общем случае оптимальная по быстродействию система может содержать вычислительное устройство, формирующее функцию нелинейной обратной связи, логические элементы и иметь переменную структуру.

2.8. Статистическая линеаризация нелинейных характеристик

Анализ и синтез нелинейных систем, работающих под воздействием случайных сигналов, значительно усложняется по сравнению с линеаризованной системой, так как, во-первых, закон распределения случайного процесса изменяется за счет изменения коэффициента усиления нелинейного элемента в зависимости от величины входного сигнала, во-вторых, если вместе с полез-

ным сигналом на вход системы поступает случайная помеха, то при прохождении через нелинейный элемент соотношение между ними изменяется.

Для нелинейных элементов нет простой связи между средними значениями, корреляционными функциями и спектральными плотностями случайных сигналов на его выходе и входе. Однако такую зависимость можно формально получить, если заменить нелинейное преобразование случайного сигнала некоторым эквивалентным линеаризованным преобразованием.

Оценить статистические характеристики нелинейных систем позволяет метод статистической линеаризации [2, 9, 10], основанный на замене нелинейной характеристики статистически равноценной линейной. Критериями статистической равноценности служат два принципа:

принцип равенства средних значений и дисперсий случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного элемента;

принцип минимума средней квадратической ошибки, обусловленной заменой нелинейного элемента приближенным линеаризованным элементом. Заменим нелинейную характеристику элемента

Ун = F(x)(2.74)

линейной зависимостью

у = kxx,(2.75)

которая имеет такие же математическое ожидание и дисперсию на выходе. С этой целью запишем (2.75) в виде

у = k) mx + k„ xo,(2.76)

где xo - центрированная случайная функция. Выберем коэффициенты k0 и k11 так, чтобы

my = k0 mx = Шун ; a2 = k2 a2 = a2 ,(2.77)

у 11 x ун

где mx, myiI, my, a2,a2 ,a2 - математические ожидания и дисперсии

x ун у

сигналов.

Из выражения (2.77) следует, что для статистической равноценности, исходя из равенства средних значений и дисперсий случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного звена, требуется

k =;(2.78)

0 m

k +

11 a

причем знак k11 должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x).

Величины k0 и k11 называются коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления требуется знать математическое ожидание и дисперсию сигнала на выходе нелинейного элемента:

j F(x)o(x)dx;

a2 F2(x)»(x)dx,

ун -да

где co(x) - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного элемента.

Далее найдем коэффициенты статистической линеаризации на основании второго принципа, обеспечивающего наилучшее приближение корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента к корреляционной функции сигнала на выходе линейного звена. Среднее значение квадрата ошибки, обусловленное заменой нелинейного элемента приближенным линеаризованным звеном, исходя из (2.74) и (2.76) определяется выражением

(у-у)2 k2m2 + k2 a2 - 2k mm - 2k (xoy ) + y2 (2.82)

н0x 12 x0xy н12 нн

было найдено при первом способе линеаризации; коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей k12 другой. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение:

11 12

Коэффициенты статистической линеаризации зависят не только от характеристик нелинейного элемента, но и от математического ожидания и дисперсии сигнала на его входе. Кроме того, для их вычисления требуется знать закон распределения случайного процесса. При прохождении случайного сигнала через замкнутую систему инерционные звенья линейной части системы приближают закон распределения к нормальному, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты k0 и k1 могут быть заранее вычислены.

В заключение следует отметить, что метод статистической линеаризации применим к системам, в которых невозможны автоколебания. Для исследования нелинейных систем с автоколебаниями используется метод совместной статистической и гармонической линеаризации.

Таблицы коэффициентов статистической и совместной статистической и гармонической линеаризации для различных нелинейностей приведены в литературе [17].

и должно быть минимальным. Приравняв нулю производные от последнего выражения по k0 и k12 , запишем уравнения

2knm - 2m m 0; 0 xx ун

2k12 - 2(x0yн) 0.

(2.83) (2.84)

Следовательно, в этом случае коэффициенты статистической линеаризации вычисляются по формулам

(x ) Rxy н (0) 1

ax2 Rx(0) a2

j (x- m )F(x)»(x)dx. (2.86)

Таким образом, статистическая линеаризация из условия минимума средней квадратической ошибки дает то же значение коэффициента k0 , которое

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 2

1.Сформулируйте определение и приведите классификацию нелинейных систем. Перечислите особенности нелинейных систем.

2.Каковы основные методы исследования и расчета нелинейных систем, применяемые в инженерной практике?

3.Расскажите о прямом методе Ляпунова.

4.Объясните определение абсолютной устойчивости нелинейных систем по методу В.М.Попова.

5.В чем сущность метода гармонической линеаризации нелинейных характеристик?

6.Поясните исследование нелинейных систем на фазовой плоскости.

7.Какие средства применяются для коррекции нелинейных систем?

8.Что означает вибрационная компенсация нелинейностей?

9.В каких случаях в нелинейной системе возникает скользящий режим? Как построить систему оптимальную по быстродействию?

10.Что такое статистическая линеаризация нелинейных характеристик? Как она осуществляется?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное учебное пособие относится ко второй части курса, читаемого автором в ВоГТУ.

В представленной работе ввиду ограниченного объема невозможно полностью проанализировать все вопросы теории особых линейных и нелинейных систем управления. Однако можно надеяться, что изучившие это учебное пособие смогут самостоятельно, используя литературные источники, продолжить работу в интересующих их областях.

ЛИТЕРАТУРА

1.Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. - СПб.: Наука, 1999. - 467 с.

2.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. - 768 с.

3.Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. - М.: Наука, 1976. -

4.Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. - М.: Наука, 1987. - 320 с.

5.Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. - М.: Энергоиздат, 1981. - 304 с.

6.Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. - Л.: Машиностроение, 1989. - 284 с.

7.Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.: Машиностроение, 1978. - 609 с.

8.Имаев Д.Х., Ковальски З., Кузьмин Н.Н., Пошехонов Л.Б., Цапко Г.П., Яковлев В.Б. Анализ и синтез систем управления. Теория. Методы. Примеры решения типовых задач с использованием персонального компьютера. - Санкт-Петербург, Гданьск, Сургут, Томск, 1998. - 172 с.

9.Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. - М.: Высшая школа, 1990. - 335 с. 10.Куропаткин П.В. Теория автоматического управления. - М.: Высшая школа, 1973. - 507 с.

11.Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука,

2000. - 549 с.

12.Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Наука, 1986. - 616 с.

13.Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1989. - 304 с.

14. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

15.Расчет автоматических систем / Под ред. А.В.Фатеева. - М.: Высшая школа, 1973. - 336 с.

16. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов в 2-х частях / Под ред. А.А.Воронова. 2-е изд. - М.: Высшая школа, 1986.

17.Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 1989. - 752 с.

18.Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. - М.: Физматгиз, 1963.

- 968 с.

19.Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. - М.: Наука, 1974. - 576 с. 20.Юревич Е.И. Теория автоматического управления. - Л.: Машиностроение, 1980. - 412 с.

ГЛОССАРИЙ

Анализ и синтез нелинейных систем

Виды импульсной модуляции Дискретные системы

Дискретная передаточная функция импульсной системы.

Импульсная модуляция

Импульсная система

Метод гармонической линеаризации

Нелинейная система

Прямой метод Ляпунова

Переходный процесс в импульсных системах

Релейные системы

Синтез цифровых систем

Стандартная форма описания дискретной системы

Скользящий режим

теорема Котельникова-Шеннона

Точность импульсных систем.

Цифровые системы Частотные характеристики Частотный метод В.М. Попова

ЧИМ ШИМ