Рис. 2.19. Функция соответствия

Для исследования возможных автоколебаний в координатах функции соответствия (рис. 2.19) проводится прямая из начала координат под углом 450 к координатным осям, для которой x; = x0l, что соответствует отображению каждой точки полуоси 0X самой в себя, т.е. после обхода вокруг начала координат точка возвращается в исходное положение. Пересечение кривой xl = f(x0l) с прямой xl = x0l (точки A и B) определяют существование предельного цикла. Если указанная кривая и прямая не пересекаются, то автоколебания невозможны, а если касаются, то имеет место один предельный цикл.

Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точку x0 сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 2.19.

Рис. 2.19 соответствует двум предельным циклам, из которых меньший (точка A) неустойчив, а больший (точка B) устойчив. Следовательно, при начальных условиях (x0, у0), расположенных внутри меньшего предельного цикла, система устойчива, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу.

ложение. Пересечение кривой xi = f(x0i) с прямой xi = x0i (точки A и B) определяют существование предельного цикла. Если указанная кривая и прямая не пересекаются, то автоколебания невозможны, а если касаются, то имеет место один предельный цикл.

Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точку x0 сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 2.19.

Рис. 2.19 соответствует двум предельным циклам, из которых меньший (точка A) неустойчив, а больший (точка B) устойчив. Следовательно, при начальных условиях (x0, у0), расположенных внутри меньшего предельного цикла, система устойчива, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу.

2.6. Коррекция нелинейных систем

При коррекции нелинейных автоматических систем обычно решаются две основные задачи [10]:

обеспечение устойчивости системы;

получение автоколебаний с заданной амплитудой и частотой.

Коррекция осуществляется с помощью включения линейных или нелинейных корректирующих устройств, а также компенсацией влияния нели-нейностей.

Корректирующие устройства. В качестве линейных корректирующих устройств используются главным образом неединичные главные обратные связи (рис. 2.20,а) и местные обратные связи, охватывающие нелинейные элементы (рис. 2.20,б).

Нелинейные корректирующие устройства включаются либо последовательно либо в обратные связи.

При расчете корректирующих устройств структурную схему нелинейной системы необходимо привести к эквивалентной одноконтурной схеме с нелинейным элементом и эквивалентной линейной частью с передаточной функцией для схемы, приведенной на рис. 2.20,а,

Wэлч(s) = Wлч(s) xWос(s)

и для схемы, приведенной на рис. 2.20,б,

Wэлч(s) = Wлч(s) + Wмос(s).

Рис. 2.20. Структурная схема нелинейной системы: а - c неединичной главной обратной связью; б - c местной обратной связью

Влияние линейного корректирующего устройства на фазовый портрет системы. Рассмотрим систему, представленную на рис. 2.20,а, линейная часть которой задана передаточной функцией

s(Ts+1)

где k - коэффициент передачи;

T - постоянная времени, а нелинейный элемент - статической характеристикой F(a); у которой в качестве линейного корректирующего устройства включено в главную обратную связь форсирующее звено с передаточной функцией

Wос(s) = (Тос s + 1),

где Тос - постоянная времени.

Передаточная функция эквивалентной линейной части системы будет

s(Ts+1)

Wэлч (Ф

На основании структурной схемы (рис. 2.20,а) и выражения (2.54) свободное движение нелинейной системы (g = 0) можно описать дифференциальным уравнением относительно отклонения a

(Tp2 + p)a + k(Tос p + 1)F(a) = 0, где p=d/dt. (2.55)

Учитывая, что

a = -(Тос p + 1)x,

получим дифференциальное уравнение относительно управляемой величины x системы

T d2x(t) + dx(t) ,F( ) 0 T-- +--kF(a) = 0.

dt2 dt

Ty+ x = b или у-

"(x- b);

Ty+ x = - b или у =--(x+ b).

Для построения фазового портрета в качестве координат фазовой плоскости выбираем управляемую величину x и скорость ее изменения у = dx/dt и уравнение (2.57) заменяем эквивалентными уравнениями первого порядка

-Г = ~ у +-F(a);

dt T T

откуда дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет

dy = 1 k F(cr) dx T T X у

Если нелинейным элементом является усилитель с насыщением (рис. 2.3,а), то для линейного участка характеристики a< b

и, следовательно,

F(a) = ку a = - ку(Хзс p + 1)x

d 1 + kk T kk

dy уо су x

Поскольку для участков насыщения F(a) = ±с, то вместо (2.59) аналогично (2.46) и (2.48) получим уравнения:

dy 1kc

при a < -b и (Тос p + 1)x > +b; (2.61)

dy = 1 + jEi при a > +b и (Тос p + 1)x < -b. (2.62)

Так как линейная область на фазовой плоскости определяется неравенством a< b и зависимостью (2.56), то уравнения граничных линий можно записать в виде:

Следовательно, граничные линии проходят через точки на оси абсцисс x = ±b и являются наклонными прямыми, угол наклона которых зависит от величины постоянной времени звена обратной связи

: arctg (

На рис. 2.21,а изображены фазовые траектории и граничные линии для системы при начальных условиях (x0, 0).

Таким образом, при неединичной обратной связи фазовый портрет в зонах насыщения, определяемый уравнениями (2.61) и (2.62), будет таким же, как и при единичной обратной связи. В области линейной части характеристики фазовый портрет системы определяется уравнением (2.60), в котором имеется дополнительный член, обусловленный постоянной времени звена обратной связи Тос. Кроме того, наличие производной в главной обратной связи поворачивает граничные линии, разделяющие фазовую плоскость на области, против часовой стрелки навстречу движению изображающей точки. Угол поворота этих линий тем больше, чем больше постоянная времени Тос; в случае единичной обратной связи (Тос = 0) угол поворота равняется нулю, при этом угол наклона a = 900.

. T D

BXD Линии переключения а)б)

Рис. 2.21. Фазовые траектории нелинейных систем: а - с усилителем с насыщением; б - с трехпозиционным реле