сепаратрисами. Поведение системы в каждой области фазовой плоскости описывается своим дифференциальным уравнением.

Кроме того, для фазового портрета нелинейных систем с разрывными характеристиками характерно наличие линий переключения, которые также разделяют фазовую плоскость на ряд областей с различными фазовыми траекториями. При этом начальные значения переменных на каждом участке определяются через их конечные значения на предыдущем участке. Линии переключения характеризуются узловыми точками разрывных характеристик нелинейных элементов.

Замечание: координатами (x, у) фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонение (ошибка) управляемой величины системы и ее скорость. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени.

Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в автоматической системе (рис. 2.1), линейная часть которой задана передаточной функцией

s(T s+1)

где k - коэффициент передачи;

T - постоянная времени, а нелинейный элемент - статической характеристикой ун = F(x).

Р е ш е н и е. В качестве координат фазовой плоскости выбираем отклонение управляемой величины x и скорость ее изменения у = dx/dt. Запишем для ошибки x дифференциальное уравнение системы, описывающее ее свободное движение

T d2x(t) + dx(t) +o

T-- +-+ kF(x) = 0,

dt2 dt

которое заменяем эквивалентными уравнениями первого порядка

\JL --у--F(x);

dt T T

Разделив первое из уравнений (2.43) на второе, получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий

dI= -I - Ji x F00(2.44)

dx T T у

решение которого определяется характеристикой нелинейного элемента.

Рассмотрим фазовые портреты системы для некоторых типов нелинейных

элементов.

1. Идеальное двухпозиционное реле (рис. 2.4,а) со статической характеристикой F(x) = csign(x).

Дифференциальное уравнение (2.44) фазовых траекторий в этом случае примет вид

dl= - L - k x c sign(x)(245)

dx T T X у

Переключение идеального реле происходит при x = 0. Следовательно, линия переключения на фазовой плоскости (рис. 2.16,а) совпадает с осью ординат.

Справа от линии переключения при x > 0 дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет

dy 1 kc dx T Ty

Его интегрирование дает уравнение фазовой траектории [2]

x = kcT In I у + kc I - Ty + c0,

где c0 - постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Каждому конкретному c0 соответствует определенная кривая на фазовой плоскости справа от линии переключения. Эти кривые имеют асимптоту у =

Слева от линии переключения при x < 0 дифференциальное уравнение (2.45) фазовых траекторий принимает вид

(2.42) что дает решение [2]

dy 1 kc dx T Ty

-kcT In I у - kc I - Ty + c0,(2.49)

согласно которому наносится семейство фазовых траекторий с асимптотой у = kc в левой фазовой полуплоскости.

На рис. 2.16,а изображены фазовые траектории системы для начальных условий (x0, 0).

предельный цикл

линия переключениялиния переключения

Рис. 2.16. Фазовые траектории релейных систем: а - с идеальным реле; б - с реле с гистерезисом

2. Двухпозиционное реле с гистерезисом (рис. 2.4,в) со статической характеристикой

[+ с при x > + b, \dx

-с при x <+ b,

+ с при x > - b,

-c при x < - b,

> 0;

•< 0.

Переключение реле с гистерезисом происходит при x = +b, если у > 0 (линия AB на рис. 2.16,б); если же у < 0, то при x = -b (линия CD). Соответственно, линия переключения ABCD на фазовой плоскости (рис. 2.16,б) имеет разрыв.

Справа от линии переключения ABCD справедливо дифференциальное уравнение фазовых траекторий (2.46), а слева - (2.48). Следовательно, фазовые траектории рассматриваемой системы (рис. 2.16,б) строятся аналогично предыдущему случаю.

В данной системе будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, т.е. при любых начальных условиях. Амплитуда автоколебаний изображена на рис. 2.16,б отрезком a; отрезок ум изображает амплитуду скорости. Период автоколебаний определяется решением уравнений во времени.

3. Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) со статической характеристикой

0 при - b < x < + b, + с при x > + b, - с при x < - b.

Переключение трехпозиционного реле с зоной нечувствительности происходит при x = -b (линия AB фазовой плоскости на рис. 2.17,а) и при x = +b (линия CD). Соответственно, линии переключения AB и CD разделяют фазовую плоскость на на три области (рис. 2.17,а).

Справа от линии переключения CD справедливо дифференциальное уравнение фазовых траекторий (2.46), а слева от линии переключения AB -(2.48). Следовательно, для рассматриваемой системы фазовые траектории в этих областях фазовой плоскости (рис. 2.17,а) строятся аналогично предыдущим случаям.

В средней области при -b < x < +b, соответствующей зоне нечувствительности реле, дифференциальное уравнение (2.44) фазовых траекторий принимает вид

1 + 0

у=--x+ с ,

согласно которому семейство фазовых траекторий образуется отрезками прямых линий с отрицательным угловым коэффициентом -1/T.

Линии переключенияГраничные линии

Рис. 2.17. Фазовые траектории нелинейных систем:

а - с трехпозиционным реле; б - с усилителем с насыщением

На рис. 2.17,а изображены фазовые траектории системы для начальных условий (x0, 0). Система приходит в положение равновесия при значениях ошибки, определяемой зоной нечувствительности реле.

4. Усилитель с насыщением (рис. 2.3,а) со статической характеристикой

k при - b < x < + b, + c при x > + b,

x < -b.

Для построения фазовых траекторий нелинейной системы с кусочно-линейной характеристикой нелинейного элемента фазовую плоскость разделяем на области линиями AB и CD (рис. 2.17,б).

Как следует из сравнения статических характеристик нелинейных элементов, фазовые траектории в правой и левой областях фазовой плоскости рассматриваемой системы строятся аналогично предыдущему случаю.

В средней области при -b < x < +b, соответствующей линейному участку характеристики, система становится линейной и дифференциальное уравнение (2.44) фазовых траекторий принимает вид

На рис. 2.17,б приведена фазовая траектория системы для начальных условий (x0, 0) в случае ее устойчивости в линейной области.

Метод точечных преобразований (метод Пуанкаре-Андронова) позволяет установить существование автоколебаний в нелинейной системе второго порядка без построения фазовых траекторий [10]. Сущность метода заключается в том, что для исследования динамики системы необходимо выяснить, как в зависимости от начальных условий перемещаются точки пересечения фазовой траектории с некоторой полупрямой, например, отрезком 0X фазовой плоскости (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Фазовая плоскость

Возьмем начальное положение изображающей точки (x0, 0) где-нибудь на полуоси 0X. После обхода вокруг начала координат изображающая точка пересекает полуось 0X в точках x1, x2 и т.д. Последовательность точек пересечения фазовой траектории с выбранной полупрямой представляет точечное преобразование полупрямой самой в себя. Задавая различные начальные положения x0i изображающей точки на полуоси 0X, согласно уравнениям системы определяют соответствующие им точки xi на той же полуоси после обхода начала координат. Полученная таким образом зависимость

xi = fxoi)

называется функцией соответствия и используется для исследования периодических режимов в нелинейных системах.