Wлч(jю) =---.(2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wco) и годографа обратной

характеристики нелинейной части W 1(a), взятой с обратным знаком (рис.

2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ю0 и амплитудой a0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - W 1(a),

соответствующая увеличенной амплитуде a0+Aa по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a0-Aa.

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a3 < a0 < a4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам.

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod WjccOWco, a) = 1;

arg WocOWoo, a) = - (2k+1)n, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

Ьлч(со) + Ьэ(со, a) = 0;(2.34)

улч(ю) + уэ(ю, a) = - (2k+1)n, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a0 и частоту ю0 периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы Ьлч(со), улч(ю) и нелинейного элемента Ьэ(со, a), уэ(ю, a).

Автоколебания с частотой ю0 и амплитудой a0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте с = с 0 и значениях амплитуды a = a0 + Aa и a = a0 - Aa, где Aa > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a0 + Aa и a0 - Aa по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q(a) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг ya), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

[A(p) + B(p) xq(a)]x = 0(2.36)

существует, если выполняются условия:

Moo) = - U(a);(2.37)

Улч(ю) = - (2k+1)n, при k=0, 1, 2, ...(2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту с = с 0 периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a0.

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста [15]: периодическое решение с частотой ю = ю0 и ам-

плитудой a = a0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Aa > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы улч(ю) через линию -п равна нулю в диапазоне частот, где Lco-LXcooao+Aa), и не равна нулю в диапазоне частот, где Lra-LXrarjarj-Aa).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами a01, a02 и a03, определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики улч(ю) с линией -1800. Амплитуды периодического решения a01, a02 и a03 определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -Ц,(со01, a), -(со02, a) и -(со03, a).

да\ Да щ, с-1

-1-TV » -

а03 а02\ а01а

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой a = a01 и амплитудой a = a01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где Lлч(a)>-Lэ(a01,a01+Aa), фазовая характеристика улч(га) не пересекает линию -1800, а в диапазоне частот 2, где Lra-LXrarjbacH-Aa), фазовая характеристика улч(ю) один раз пересекает линию -1800. Решение с частотой a = a 02 и амплитудой a = a02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где

Lлч(a)>-Lэ(a02,a02+Aa), фазовая характеристика улч(ю) один раз пересекает линию -1800. Высокочастотное периодическое решение с частотой a = a03 и амплитудой a = a03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где Lлч(a)>-Lэ(a03,a03+Aa), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики улч(ю) через линию -1800, а в диапазоне частот, где Lra-Lraa-Aa), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики улч(ю) через линию -1800.

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой a03 и амплитудой a03, а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой a01 и амплитудой a01.

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

Wm (s) -k-,

mW s(T1s+ 1)(T2s+1)

где k=200 c-1; T1=1.5 c; T2=0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице [7] для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

q(a) = - J1 - - при a > b, q(a) = 0. тш\ a

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия ц = a/b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

4cb2 a2

6.4- коэффициент передачи реле;

относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

q(M) = -VM -1, q(u) = 0 M

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

- L э(M) 20 lgT2=.

Если m - 1, то -Ц,(ц) - да; а при ц >> 1 -Ц,(ц) = 20 lg ц. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, ц = 1 (рис. 2.13).

Частота периодического решения a0 = 4.3 c-1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики улч(ю) и линии -1800. Амплитуды периодических решений ц1 = 29 и ц2 = 1.08 находятся по характеристикам Lra) и -Ц,(ц). Периодическое решение с малой амплитудой ц2 неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой ц1 устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой га0 = 4.3 c-1 и амплитудой a0 = Ьхц1 = = 58 В.

Цдб 4ьлч(щ)

20 Ч град 180 А

100 щ,с

100 щ,с 1

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе с зоной нечувствительности Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

W (s)

mW s(T1s+ 1)(T2s+1)

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики La), -Ц,(ц) и улч(ю).