лось для всех частот. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределах какого угла arctg k (рис. 2.7,б) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости будет несколько шире, но данным методом это не определяется.

Дополнение: неравенство (2.13) является так же достаточным условием абсолютной устойчивости нелинейной системы и при k - да.

Пример. Определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия обеспечения абсолютной устойчивости нелинейной системы, передаточная функция линейной части которой

Р е ш е н и е. По передаточной функции линейной части системы находим ее частотную передаточную функцию

ja(ja +1) а2 +1

откуда получаем видоизмененную частотную характеристику

W(ja)

а2 + 1 а2 + 1

и строим ее на комплексной плоскости, изменяя частоту а от 0 до да (рис.

прямая Попова

Таким образом, исследуемая нелинейная система абсолютно устойчива при k > 0.

2.4. Метод гармонической линеаризации

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов. В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой а.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

Ун = F(x),

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой а и амплитудой a, т. е.

x = a sin у, где у = at,

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

Ун1 = ан1 sin(y + ун1),(2.19)

Рис. 2.9. Видоизмененная частотная характеристика

Как видно из последнего выражения, видоизмененная частотная характеристика W (ja) представляет собой отрезок прямой линии между точками с координатами [-10, -.10] и [0, -.0].

Следовательно, прямая Попова может быть проведена для любого положительного значения коэффициента передачи k нелинейного элемента так, что вся характеристика W (ja) будет лежать справа от этой прямой.

где ан1 - амплитуда а ун1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q - коэффициентами гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q изменяются при изменении амплитуды а и частоты со колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу [7, 17]. В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a, со) и q(a, со) зависят от амплитуды а и частоты с колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a) и q(a) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q(a) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jra (s = jra), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

ун1 = b1F siny + a1F cosy,(2.20)

где b1F, a1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

1 r„, .,1

j F(a sin у )sin у dy, a1F = - j F(a sin у )cos yd у

АП A

Так как

px = aa> cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

где q = b1F/a, q = a1F/a.

Wэ(jo, a) = q + jq = Аэ(со, a) e jy3(ffl a),

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

Аэ(ю, a) = mod Wэ(jo, a) = [q(a, с)]2 + [q (a, с)]2;

Уэ(со, a) = arg Wэ(jo, A) = arctg[q(a, ro)/q(a, со)].

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

= axAэ(ю, a); = уэ(со, a).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой с 0 и амплитудой a0.

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

. m . m-1.

B(s) b0s + b1s +... + b

a„s + a,s +... + a

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом пере-

Wэ(ja, a) = q(a, a) + jq(a, a) = Аэ(со, a) e №(<a a). (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)x[q(co, a) + q (a, a) -]}x = 0.(2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a0 sin a0t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a0 и а = а0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)x[q(a, a) + q (a, a) - ] = 0

имеет пару мнимых корней Xi = ja0 и Xi+1 = -ja0. Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод. Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют ja

D(ja, a) = A(ja) + B(ja)x[q(a, a) + jq(a, a)].(2.27)

В результате получают уравнение D(ja, a) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

получим уравнение

Re D(ja, a) = X(a, a); Im D(ja, a) = Y(a, a),

X(a, a) + jY(a, a) = 0.

Если при действительных значениях a0 и a0 выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

X(«a0) 0;

0 0(2 29)

Y(a , a()

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

fX(a , a ,k) 0; 00

Y(a , a ,k) 0.

По графикам a0 = f(k), a0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

Wн(ja, a) = -1.

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

Wн(ja, a) = Wлч(ja)xWэ(ja, a).(2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид