3.4. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой цепи звеньев

Логарифмические частотные характеристики имеют большое практическое значение. Поэтому рассмотрим их построение. В общем случае частотные характеристики строят по методике, изложенной в разделе 3.1. Однако часто результирующую передаточную функцию смешанного соединения звеньев можно свести к виду

k п w(s) j = 1 tj

sr п w(s) ti

где WT(s) - передаточная функция типового звена.

В этом случае построение ЛАХ производится по выражению

L(ro) = 20lgA(ro) = 20lgW(jro)= m

= 20lgk - rx20lgco + 2 20lg

w (jc)

w (jc) Ti

Построение ЛФХ производится по выражению у(ю) = argW(jro) = -rx900 +

WT.(c)-

Таким образом, результирующая ЛАХ определяется суммированием ЛАХ составляющих типовых звеньев, а результирующая ЛФХ - соответственно суммированием ЛФХ составляющих типовых звеньев. Таблицы характеристик типовых звеньев имеются в литературе [1,7].

Асимптотические ЛАХ можно построить непосредственно по виду передаточной функции (3.54) по следующему правилу, состоящему из четырех пунктов.

1. Частотная область разбивается на диапазоны, границы которых определяются сопрягающими частотами, соответствующими постоянным времени передаточной функции:

Число сопрягающих частот равняется числу постоянных времени в передаточной функции, а число частотных диапазонов на единицу больше.

2. Первая низкочастотная асимптота ЛАХ, которая проводится в крайнем левом низкочастотном диапазоне, имеет наклон -(20xr)дб/дек и проходит через точку с координатами: ю=1 с-1, L(1)=20lg k дб, где r - показатель степени оператора Лапласа s, записанного в знаменателе передаточной функции (3.54).

s(t1s + 1)(t2s +1)

где k = 100 с-1 ; Т1= 5 с; Т2= 0.01 с; Т3= 0.5 с.

Решение.

1. Представим передаточную функцию, как комбинацию типовых звеньев:

s(t1s + 1)(t2s +1) s (t1s +1) (t2s +1)

2. Находим сопрягающие частоты:

Юсопр1= 1/T1= 0.2 с-1; Юсопр2= 1/T2= 100 с-1; Юсопр3= 1/Т2= 2 с-1.

• (t3s +1).

3. Строим ЛАХ.

\ПХ 1/Т3

Рис. 3.13. Логарифмическая частотная характеристика звена

3.1.Частотную область разбиваем на четыре диапазона.

3.2.Низкочастотный участок ЛАХ имеет наклон

-(20xr)= -(20х 1)= -20дб/дек и проходит через точку с координатами: ю = 1с-1, L(1) = 20lg k = 40дб (точка А[1,40]).

3.На сопрягающих частотах ЛАХ претерпевает изломы.

3.1.Если сопрягающая частота соответствует постоянной времени Ti, находящейся в знаменателе передаточной функции, то ЛАХ делает излом вниз на -(20ху)дб/дек, где v - порядок типового динамического звена, в которое входит эта постоянная времени Ti.

3.2.Если сопрягающая частота соответствует постоянной времени Ti, находящейся в числителе передаточной функции, то ЛАХ делает излом вверх на +(20x v) дб/дек, где v - порядок типового динамического звена, в которое входит эта постоянная времени Ti.

4.Вторая асимптота проводится до следующей сопрягающей частоты и так далее. Пример. Построить ЛАХ звена, имеющего следующую передаточную функцию:

k(t3s +1)

3.3.На частоте 1/Т1 ЛАХ делает излом вниз на -(20xv)= -(20x1)= -20 дб/дек.

3.4.На частоте 1/Т3 ЛАХ делает излом вверх на (20xv) = (20x1) = 20дб/дек.

3.5.На частоте 1/Т2 ЛАХ делает излом вниз на -(20xv) = -(20x 1) = -20 дб/дек.

Вид полученной ЛАХ приведен на рис. 3.13.

Используя то же правило, по ЛАХ звена можно однозначно определить передаточную функцию.

Пример. Определить передаточную функцию звена, ЛАХ которого имеет вид, представленный на рис. 3.14.

4.Почему ЛЧХнашли большое применение в инженерной практике?

5.По каким признакам классифицируются типовые динамические звенья?

6.Перечислите группы основных типов звеньев.

7.Что представляет собой структурная схема системы управления?

8.Какие способы соединений звеньев используются в системах?

9.Как находятся передаточные функции смешанных соединений звеньев?

10.Каким образом строятся логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи звеньев? Постройте ЛЧХ типовых звеньев.

Рис. 3.14. ЛАХ звена

Решение. Передаточная функция имеет вид

k(T2s + 1)(T3s +1)2

s0(T1s + 1)(T4s +1)2

где k=10L(1)/20=100=1 с-1;

Т1= 1 с; Т2= 0.1 с; Т3= 0.01 с; Т4= 0.001 с.

При более сложных формах передаточной функции W(s), например, при наличии внутренних обратных связей, построение ЛАХ усложняется. Однако часто можно и сложные выражения приводить к аналогичному виду (3.54), разложив на множители многочлены числителя и знаменателя.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 3

1.Что такое динамическое звено и его характеристика?

2.Дайте определение основных характеристик.

3.Какие частотные характеристики используются для исследования систем?

Содержание Глоссарий

4. СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

вопросы

4.1. Дифференциальные уравнения систем управления

передаточные функции замкнутых

Система автоматического управления представляет собой совокупность объекта управления, регулятора и датчика рассогласования. Обобщенная функциональная схема системы управления представлена на рис.4.1.

g(t)x(t) i-U(t)

Рис. 4.1. Функциональная схема системы управления

Для того, чтобы получить математическое описание системы управления, необходимо составить по рассмотренной ранее методике линеаризованные уравнения всех элементов, из которых состоит датчик рассогласования, регулятор и объект управления. Таким образом получим систему дифференциальных уравнений, описывающую исследуемую систему управления. Полученная система дифференциальных уравнений путем исключения промежуточных переменных может быть разрешена относительно любой координаты системы управления. Обычно она решается либо относительно рассогласования x(t), т.е. ошибки, либо относительно управляемой величины y(t).

Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение

D(p)x(t) = Q(p)g(t) + N(p)f(t).(4.1)

Полином D(p) степени n от символа дифференцирования p характеризует свободное движение системы. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде

nn d(p) = a0p + a1p

линеаризованной

a ,p + a . n-1 n

где a0,...,an в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Полином Q(p) степени m (m<n) от символа дифференцирования p определяет влияние задающего воздействия g(t) на характер изменения ошибки.

Полином N(p) степени k (k<n) от символа дифференцирования p определяет влияние возмущающего воздействия f(t) на характер изменения ошибки. В принципе

D(p)y(t) = R(p)g(t) - N(p)f(t),

R(p) = D(p) - Q(p).

на управляемую

Полином R(p) определяет влияние задающего воздействия g(t) величину.

Уравнения (4.1) и (4.3) являются исходными дифференциальными уравнениями замкнутой системы управления. При известных функциях времени в правых частях уравнений (4.1) и (4.3) они могут быть решены относительно искомых функций времени, т.е. может быть найдено изменение ошибки управления во времени и движение объекта управления.

Таким образом, четверка полиномов D(p), Q(p), N(p), R(p) полностью определяет замкнутую систему управления.

Уравнения, описывающие динамику системы, также как и звена, могут быть представлены в другой форме. Для этого перепишем уравнения (4.1) и (4.3) в операторном виде, перейдя от функций времени к их изображениям по Лапласу.

В результате получим:

При f(t)=0

, q(s) ;

d(s) ф (s)

ф xf(s) x(s) g(s)

x(s) = Ф (s)g(s) + Ф f(s)f(s),

передаточная функция замкнутой системы по

ошибке относительно задающего воздействия.

При g(t)=0 Ф f (s) =-

xf f(s)

ошибке относительно возмущающего воздействия. Аналогично:

передаточная функция замкнутой системы по

y(s) = ф g(s)g(s) - ф f(s)f(s),

таких возмущений может быть несколько. Однако вследствие линейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учета только одного воздействия; при наличии нескольких возмущений необходимо лишь просуммировать результат.

Из (4.1) вытекает, что ошибка может быть представлена в виде суммы двух составляющих: первая составляющая определяется влиянием задающего воздействия, вторая - возмущающего воздействия.

При решении системы дифференциальных уравнений относительно управляемой величины получается уравнение движения объекта управления при наличии регулятора. Это уравнение получается в результате подстановки выражения для ошибки x(t)=g(t)-y(t) в уравнение (4.1):