Содержание Глоссарий 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

вопросы

3.1. Характеристики линейных звеньев

Под динамическим звеном понимается устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но имеющее определенное математическое описание.

Характеристика звена - это его реакция на определенное входное воздействие. Для линейных звеньев и линейных систем в целом характеристика полностью определяет их динамические свойства, так как к линейным звеньям и системам применим принцип суперпозиции, позволяющий по реакции линейного элемента на какое-либо известное воздействие найти его реакцию на воздействие произвольного вида.

В качестве входных воздействий, на которые ищется реакция звена, приняты воздействия, описываемые элементарными математическими функциями, то есть такими, на которые можно разложить любые произвольные функции. В теории управления в качестве элементарных функций используются:

1)единичная импульсная или дельта-функция 5(t);

2)единичная ступенчатая функция 1(t);

3)гармоническая функция X0sin(cot). Существуют временные (импульсная

характеристики.

Импульсная или весовая функция

функция представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию.

Единичной импульсной функцией или 5-функцией называется функция, равная нулю всюду, кроме начала координат, но притом так, что интеграл от нее по любому интервалу, содержащему нуль, равен единице, т.е.

0 при t ф 0,

и переходная функции) звена w(t). Импульсная

и частотные

или весовая

[да при t = 0.

Кроме того, J S (t)dt = 1 при любом е>0.

x(t)=5(t)

Рис. 3.1. Временные диаграммы входного и выходного сигналов звена

Иначе говоря, весовая функция w(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена (рис. 3.1) при подаче на его вход единичного импульса.

Весовой функцией звена w(t) называется оригинал (т.е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно:

.I c + j0Out

w(t) = L-1[W(s)] = -2- J W(s)estds = z Res[W(s)est] = , (3.1)

c - jcoi = 1i

где si - все полюса (корни знаменателя) передаточной функции W(s). В этой формуле Res обозначает вычеты.

Зная импульсную функцию w(t), можно найти реакцию звена на любое входное воздействие x(t), разложение которого на S-функции имеет вид:

x(t)= J x(r)S(t- r)dr • 0

При этом сигнал на выходе линейного звена определяется как

y(t) = J x(r)w(t - r)dx = J x(t - r)w(r)dr

где т - вспомогательное время интегрирования.

Имея весовую функцию звена w(t), можно определить его передаточную функцию:

W(s) = L[w(t)] = J w(t)e-stdt (3.4)

Переходная функция звена h(t). Переходная функция представляет собой реакцию звена на единичную ступенчатую функцию, удовлетворяющую условию

[0 при t < 0,

1 при t > 0.

Как видим (рис. 3.2), переходная функция является переходным процессом на выходе звена при единичном скачке на его входе.

x(t)= 1 (t)

y(t)=h(t)

Рис. 3.2. Временные диаграммы входного и выходного сигналов звена

Из рассмотренного выше для линейных звеньев очевидны следующие соотношения между импульсной и переходной функциями. Поскольку

1(t) = j£(t)dt , то h(t) = j w(t)dt 00

и, наоборот,

£(t) = 1 (t), то w(t) = h (t). Переходная функция звена связана с передаточной функцией преобразованием Карсона, т.е. имеется следующее интегральное преобразование:

w(s) = sl[h(t)]

= s jh(t)e-stdt. 0

Весовая и переходная характеристики являются функциями времени и поэтому относятся к временным характеристикам.

Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена.

Если на вход линейного звена подать гармоническое воздействие

x(t)=X0sin(rot),

где X0 - амплитуда,

со - угловая частота, имеющая размерность [рад/с] или [c-1 ],

то, как следует из необходимых и достаточных условий линейности, на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но, в общем случае, другой амплитуды Y0 и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол цц

y(t)=Y0sin(rat+y).

Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена W(jco).

Частотная передаточная функция является важнейшей динамической характеристикой звена и представляет собой отношение изображений по Фурье выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах:

Из сравнения преобразований Фурье и Лапласа следует, что частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем замены s на jco, т.е.

w(jc) = w(s)

W(jco) = A(co) ej = U(co) + jV(co),

где А(ю) - модуль или амплитуда частотной передаточной функции, представляющий собой отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной, т. е. коэффициент усиления звена k на частоте c

А(ю) = W(jco) = mod W(jco) =

vy(co) - аргумент или фаза частотной передаточной функции, показывает фазовый сдвиг выходной гармоники по отношению к входной на частоте c

ц/(со) = arg W(jco);

U(c) - вещественная составляющая частотной передаточной функции

U(co) = Re W(jro);

V(c) - мнимая составляющая частотной передаточной функции

V(co) = Im W(jro).

(3.10) (3.11)

Соотношения

j 2 2

yU (со) + v (с) и (c») = arctg

v(c) u(c)

связывают между собой составляющие частотной передаточной функции.

Таким образом, частотная передаточная функция, определяющая реакцию звена на гармонические колебания всех возможных частот, позволяет, пользуясь принципом суперпозиции, найти реакцию линейного звена на произвольное воздействие.

Выражение (3.8) представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику звена. Выражения (3.9) и (3.10) называются соответственно амплитудной частотной характеристикой звена и фазовой частотной характеристикой звена, а выражения (3.11) и (3.12) - вещественной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой звена.

Для наглядного представления частотных свойств звена частотные характеристики отображают графически.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов векторов (годографов), соответствующих частотной передаточной функции W(jco) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.3.3). Для каждой частоты c на комплексной плоскости наносится точка, полученные точки соединяются затем плавной кривой. АФЧХ можно строить как в декартовых координатах (U, V), так и в

Частотная передаточная функция W(jco), как видно, представляет собой комплексное число, которое можно записать как в полярной, так и декартовой системах координат:

полярных (A, у).

Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W(jco) со на -со получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отображением относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. На рис.3.3 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую выбранной частоте с , равна А(с ), а угол между вектором и положительным направлением вещественной оси равен у(со).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ). Показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты, иначе, представляет собой коэффициент изменения амплитуды гармонических колебаний при прохождении через звено (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Амплитудная частотная характеристика

где сор - резонансная частота, т.е. частота, на которой амплитудная частотная характеристика достигает максимума, иначе, на этой частоте звено имеет максимальный коэффициент усиления;

сос - частота среза, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное единице, и при дальнейшем повышении частоты остается меньше единицы;

соп - частота пропускания, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не увеличивается;

Асоп=2соп - полоса пропускания, диапазон частот гармонических колебаний,

ЧЧф) =arg W(jq)

Рис. 3.5. Фазовая частотная характеристика

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ). Представляет собой зависимость вещественной составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Вещественная частотная характеристика

Мнимая частотная характеристика (МЧХ). Представляет собой зависимость мнимой составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис.3.7).

V(®)= ImWO)

Рис. 3.7. Мнимая частотная характеристика Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). На практике чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе (рис. 3.8).

пропускаемых звеном без заметного ослабления.

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах (рис.3.5).