величины отклонений координат элемента от своих установившихся значений в исследуемом динамическом процессе.

В общем случае при составлении уравнения динамики элемента системы (рис. 2.2), имеющего входную величину x, выходную - y и внешнее воздействие f, получается динамическое уравнение произвольного нелинейного вида

fy,y,y)=gx,xf) .

Рис. 2.2. Элемент автоматической системы

Допустим, что установившиеся значения переменных y, x и f являются постоянными величинами y0, xo, fo, характеризующими установившийся режим и определяющими рабочую точку элемента.

Тогда для текущих координат можно записать

y(t) = yo + ay(t); x(t) = xo + ax(t); f(t) = fo + af(t);

где ay, ax, af - отклонения y, x, f от своих установившихся значений. Из (2.3) получается уравнение статики

F(yo) = G(xo, fo)

Для линеаризации уравнения (2.3) последнее раскладывают в ряд Тейлора по степеням отклонений всех координат элемента от своих установившихся значений. Тогда уравнение (2.3) примет вид

f ч (df1 ... (5fV. (5f1 a g f . (5g1 a . (5g1 a (5g1 af + (члены

f(y )+1 i ay+l -=- i ay+l -r- i ay = g(x ,f )+1 i ax+l i ax+l i af+ v

v iеyjo iеyjo i5yjoo o iеx jo fex jo fef jo

высшего порядка малости).

Вычитая из последнего уравнения (2.5) уравнение статики (2.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики элемента

Здесь нижний индекс "o" обозначает, что значения частных производных должны

быть определены в точке установившегося режима элемента.

Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.3), описывает тот же динамический процесс в том же элементе автоматической системы. Сравним (2.3) и

уравнение (2.3) - точное, а уравнение (2.6) - приближенное, ибо в процессе его получения были отброшены малые высшего порядка;

уравнение (2.3) записано относительно переменных величин элемента, а уравнение (2.6) - относительно отклонений переменных от своих установившихся значений;

уравнение (2.3) - нелинейное, уравнение (2.6) - линейное относительно отклонений, коэффициенты которого определяются рабочей точкой элемента, то есть его установившимися значениями; при смене рабочей точки эти коэффициенты изменяются.

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (2.6) называется дифференциальным уравнением элемента в отклонениях.

Ограничение метода. Данным методом могут быть линеаризованы уравнения элементов, статические характеристики которых в окрестности точки установившегося режима гладкие, то есть их производные непрерывны и однозначны. Не могут быть линеаризованы уравнения элементов с негладкими, неоднозначными и имеющими разрывы в окрестности точки установившегося режима статическими характеристиками.

Замечание: в дальнейшем будем использовать только линеаризованные уравнения, записанные относительно отклонений от установившихся значений переменных, однако для сокращения записи знак "a" будем опускать.

Пример. Электромагнитный момент M электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением определяется нелинейным уравнением

M = c 1я 1в,

где c - постоянный коэффициент;

1я, 1в - токи, протекающие в цепях якоря и возбуждения.

Решение. Линеаризуем выражение для M разложением в ряд Тэйлора и учетом лишь линейных составляющих ряда. В результате получим соотношение для малых приращений

(5M/5M)o aM = (5(c 1я 1в)/е1я)о abi + (5(c 1я Iв)/еIв)0 aIв. Откуда следует

aM = c 1во aIя + c Гяо aIв . Здесь нижним индексом "o" обозначены установившиеся значения переменных, относительно которых изменяются их приращения.

2.3. Формы записи линеаризованных уравнений

В теории управления принято записывать дифференциальные уравнения в двух стандартных формах.

В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее элемент, можно записать следующим образом

dny(t) + dn-1y(t) + dy(t) + (t) + a -+... + a -+ a y(t) =

n-1 dt n

+ ... +

b x(t)+

-1 dt dkf(t)

+ ... + ckf(t) ,

где y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины элемента и внешнее воздействие; ai, bi, Ci - постоянные коэффициенты;

n - порядок уравнения, причем ( n>m,k ); это условие физической реализуемости элемента, показывающее, что сигнал на выходе реального элемента не может возникнуть раньше подачи воздействия на его вход, т.е.

y(t) = 0 при t < 0, J y(t) I dt <oo. 0

Уравнение (2.7) удобнее записывать в алгебраизированный символ дифференцирования примет вид

символическом

виде, введя В результате уравнение

(a0pn + a1pn -1 ++an-1P+an) y(t) = (b0pm +b1pm-1 + +bm) x(t) + (C0pk +C1pk-1 ++Ck) f(t) . (2.8)

Коэффициенты уравнения имеют размерности:

ai [cn-i]; bi fcm-i

разм.х

k- i разму размf

В общем случае в соответствии с (2.8) уравнение элемента можно представить в форме

D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t) .(2.9)

При этом

Z c.pk-i -

A A

= Z a,pn-i; i = 0 i

= Z bpm-i = 0 i

полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p.

Первая стандартная форма записи. Дифференциальное уравнение записывают так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входные величины и все остальные члены - в правой. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести уравнение (2.8) к такому виду, разделим левую и правую его части на an и получим

(V+Tp11-1 + +t1p+ 1 y(t) =

= (k1 + k2p+ + km+1pm )x(t)+ (km+2+..+km+k+2pk f(t) (2.10)

При записи уравнения в первой стандартной форме (2.10) получившиеся

m раз м У

km+2 Г размУ раз мF

k размУ

• , km+k+2

передачи. Они представляют собой весовые какой вклад в формирование выходной величины

называются коэффициентами коэффициенты, показывающие элемента вносит каждое слагаемое правой части уравнения.

Вторая стандартная форма записи. Для решения дифференциальных уравнений широкое распространение получил операторный метод, при использовании которого задача нахождения решения дифференциального уравнения сводится к алгебраическим действиям. Чтобы перейти от исходного дифференциального уравнения элемента при нулевых начальных условиях к операторному, необходимо в дифференциальном уравнении вместо реальных функций времени записать их изображения по Лапласу, а в полиномах символ дифференцирования p заменить на оператор Лапласа s.

Применив к дифференциальному уравнению (2.9) преобразование Лапласа, получим

D(s)Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s) ,(2.11)

где s - оператор Лапласа;

Y(s), X(s), F(s) - изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента и внешнего воздействия;

d(s)= z asn-i; n(s) = z bsm-i ; m(s) = z ask-] i = 0 ii = 0 ii = 0 i

полиномы степени n, m, k от оператора Лапласа s.

Оператор Лапласа s представляет собой комплексную величину, причем s=c+jco, где:

c=Re s - абсцисса абсолютной сходимости;

co=Im s -угловая частота, имеющая размерность [рад/с];

Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот введены прямое и обратное интегральные преобразования вида:

X(s) = L[x(t)]= j x(t)e-stdt ,

1 c+j 00

y(t) = L-1[Y(s)] = - j Y(s)estds

j2* c-j 00

На практике для этих целей используют специальные таблицы [1,7].

Уравнения (2.9) и (2.11) формально совпадают между собой. Однако уравнение (2.9) является дифференциальным, куда входят реальные функции времени, а уравнение (2.11) - алгебраическим относительно изображений функций времени по Лапласу.

После ввода следующих обозначений:

коэффициенты:

Тп , Тп-1 Т1 называются постоянными времени, они имеют размерность времени [с] и характеризуют инерционные свойства элемента; а

d(s)1 d(s)

уравнение (2.11) примет вид, являющийся второй стандартной формой записи

Y(s) = Wx(s) X(s) + Wf(s) F(s) .(2.12)

Выражения Wx(s) и Wf(s) в теории управления называются передаточными функциями.

Если f(t) = 0, то F(s) = 0 и тогда w (s)

по входу Х.

Если x(t)=0, то X(s)=0 и тогда wf (s) =

y(s) x(s)

y(s) f(s)

передаточная функция элемента

передаточная функция элемента

по входу F.

Передаточная функция элемента по заданному входу есть отношение изображений по Лапласу его выходной и входной величин при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах элемента.

Передаточная функция имеет важное основополагающее значение в классической теории управления. Она устанавливает связь в динамическом режиме между выходной и входной величинами элемента и полностью характеризует его динамические свойства.

Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, элемент, изображенный на рис. 2.2, после линеаризации можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 2.3.

wx(s)x(s)

wf(s)f(s)

Рис. 2.3. Структурная схема элемента

Передаточные функции элементов или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы, а в случае необходимости перейти к дифференциальному уравнению.

Замечание: в литературе часто оператор Лапласа обозначается буквой p.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 2

1.Каково назначение математического описания систем?

2.Что такое динамика системы? Чем отличается математическое описание динамики системы от описания ее статики?

3.Что представляет собой условие физической реализуемости системы?

4.В чем смысл линеаризации нелинейных элементов?

5.Каким образом линеаризуются дифференциальные уравнения?

6.Назовите формы записи линеаризованных уравнений.

7.Каким образом перейти к первой форме записи дифференциального уравнения звена? Как в этом случае называются коэффициенты?

8.Как перейти от дифференциального уравнения к операторному?

9.Дайте определение передаточной функции.

10.Как по дифференциальному уравнению звена найти его передаточную функцию?