ПИ-регулятор реализует пропорционально-интегральный закон управления

- kx x(1 + -*-), s

(10.41)

где KI - матрица обратных связей по интегралу от вектора состояния. Комбинированный регулятор позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых связей по возмущающему воздействию F (рис. 10.7).

Вн. среда

"И

Рис. 10.7. Структурная схема комбинированной системы по возмущающему

воздействию

В этом случае закон управления принимает вид

U = - KxX + LfxXF ,

(10.42)

где LF - матрица коэффициентов контура связей по F;

XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.

Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания X = X (t). П-регулятор состояния в следящей системе вырабатывает управляющее воздействие, пропорциональное вектору отклонения e = X - X, то есть реализует закон управления

U = Kxe .(10.43)

Для одномерного объекта управления с вектором состояния (10.39) выражение (10.43) можно переписать в скалярной форме

n *

u= 2 k (x -x ),(10.44)

i i i

где xi* = (y(i-1))* .

ПИ-регулятор дополняет структуру системы интегральными связями:

U = Kx e(1 + -L).(10.45)

Эффективная компенсация ошибок, вызванных возмущающим воздействием F и

изменениями задания X* достигается использованием комбинированного управления (рис. 10.8)

U = Kx e + LXx X* + LFx XF ,

где LX - матрица коэффициентов контура прямых связей по X*; X* - расширенный вектор задания; LF - матрица коэффициентов контура связей по F; XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.

(10.46)

Вн. среда

связей) объекта

Рис. 10.8. Структурная схема комбинированной системы

Параметры регуляторов (коэффициенты прямых и обратных определяются как функции параметров % математической модели управления. Поэтому при управлении нестационарным объектом возникает необходимость изменения параметров регулятора в процессе работы системы. Задача настройки регулятора осложняется, когда параметры объекта управления неизвестны или неконтролируемо изменяются. Для управления такими объектами используются адаптивные регуляторы, параметры которых настраиваются с помощью блока адаптации (БА, рис. 10.9).

> ОУ

Рис. 10.9. Структурная схема адаптивной системы

Адаптивный регулятор состояния комбинированного типа содержит настраиваемые контуры обратных связей по состоянию X и прямых связей по расширенному вектору задания X*. Закон управления такого регулятора

U = k x e + l x X*,

(10.47)

где L , K - матрицы прямых и обратных связей с переменными коэффициентами (параметрами).

Функции блока адаптации заключаются в автоматической настройке параметров регулятора (10.47).

В практике адаптивных систем получили распространение два подхода к настройке параметров.

Первый из них предусматривает включение в состав системы блока идентификатора, осуществляющего вычисление неизвестных параметров объекта

управления. Тогда после определения вектора % значения K и L могут быть найдены по известным, подготовленным заранее, зависимостям

k= k(%)

(10.48)

Второй подход (безидентификационный) позволяет осуществить настройку контура прямых связей части регулятора (10.47). При этом матрица обратных свя)зей

рассчитывается по номинальному значению вектора % и остается неизменной k = KO. В качестве источника информации о параметрических ошибках регулятора в блоке адаптации используется сигнал обратной связи по отклонению:

Ue = Ko x e .(10.49)

Блок адаптации осуществляет изменение параметров регулятора до тех пор, пока в системе не установится нулевое значение сигнала обратной связи Ue и, следовательно, значение e будет равняться нулю.

и управляющее воздействие

U = -M x + FG ,

74 (10.51)

где G - задающее воздействие;

A, B, M, F - матрицы коэффициентов. Выходные координаты системы задаются в виде

Y = CX .

Оценка координат состояния системы наблюдателем формируется следующим образом:

x = Ax - BMx + P( Y - Cx) + BFG ,(10.52) где P - тоже матрица коэффициентов.

Рассматривая совместно уравнения (10.50), (10.51) и (10.52), получим

x = ax - bmx + bfg,(10.53)

x = PCX + (А - BM- PC)x + BFG ,(10.54)

или в векторно-матричной форме

10.6. Оценивание координат состояния систем

Оценивание координат состояния систем требуется в случае необходимости введения в систему автоматического управления корректирующего сигнала от какой-либо координаты состояния xi, которая не измеряется как физическая.

Для этого служит косвенная оценка неизмеряемых координат состояния системы путем введения так называемого "наблюдателя" по Калману [2]. Метод оценки вектора состояния дает возможность "восстановить" неизмеряемые координаты

вектора состояния в виде

x * x

и использовать

"восстановленный" вектор

Из полученных уравнений видно, что при использовании наблюдателя порядок всей системы увеличивается до 2n, тогда как n - число координат, которые можно использовать для управления системой, сохраняется.

Характеристическое уравнение системы с наблюдателем имеет вид

(10.55)

Яе-а-bm

pc Яе- а+ bm + pc Для оц)енки точности работы наблюдателя перейдем к новым координатам в виде AX = X - x . Вычитая (10.54) из (10.53), получаем

решения задачи, например, модального синтеза

в виде дополнительной

состояния системы для пространстве состояний.

Схема оценивания координат состояния реализуется динамической аналоговой модели - наблюдателя.

Для получения алгоритма наблюдателя Калмана запишем в векторно-матричной форме уравнения объекта управления

ax + bu

(10.50)

A XX = AX - PCX - (А - PC) X= A[ X - X] - PC[ X - X].

Следовательно,

A x = (A - PC) AX.

(10.56)

Из уравнения (10.53), заменяя X = X - AX, при отсутствии задающего воздействия G имеем

AX - BM[X- л X]

(A- BM)X + BM л X.

Уравнения (10.57) и (10.56) в векторно-матричной форме имеют вид

Г X 1 Га- bm bm 1Г x 1

(10.57)

(10.58)

Характеристическое уравнение для этой системы будет

лЕ- (A- BM)BM

0лЕ - (A - PC)

Оно принимает вид

D(X) = ЛЕ - A + BMjxjXE - A + PC = 0,

т. е. распадается на два уравнения

ЛЕ - A + BM = 0, ЛЕ - A + PC = 0.

(10.59)

(10.60)

Последнее обстоятельство дает возможность независимого модального синтеза как основной системы с координатами вектора X по уравнению (10.59), так и системы определения погрешности ЛХ по уравнению (10.60). Требуется, чтобы погрешность наблюдения ЛХ(1) быстро затухала во времени.

Существуют и другие схемы наблюдателей, каждый из которых обладает своими особенностями.

10.7. Прямой корневой метод синтеза систем управления

Качество процесса управления, как отмечалось в разделе 6.5, определяется расположением корней характеристического уравнения замкнутой системы. В связи с этим разработаны различные корневые методы расчета систем управления. Одним из них является прямой корневой метод синтеза, называемый модальным методом синтеза системы по заданному качеству процесса управления [2]. Вводится целевая функция, которая является функциональным выражением поставленной цели при синтезе системы. Обычно целевую функцию представляют как ограниченную скалярную действительную непрерывно дифференцируемую функцию F = F(q1, q2,

ai = ai(q), i = 1, 2,

(10.62)

где q = [q1, q2, ... , qn]T - искомый параметрический вектор.

Для решения задачи модального синтеза ставится в соответствии с (10.61) и (10.62) желаемый характеристический многочлен

D*) = ( Л - Л1* )x( Л - Л2* ) ... ( Л - Лп* );

после раскрытия скобок получаем

D*) = Лп +bn-1 + Ь2Лп-2 + ... + Ьп-1Л +bn, (10.63)

где Лi - желаемые значения корней характеристического полинома, лежащие в заданных пределах:

Л < Лi* < Лi", i = 1, 2, n,

bi = bi( Л1* , Л2*, Лп* ).

(10.64)

Приравнивая соответствующие коэффициенты (10.62) и (10.64), получаем

ai(q) = bi( Л1* , Л2*, Лп* ), i = 1, 2, n. (10.65)

Таким образом, имеем систему n уравнений с n неизвестными, решая которую

qn) искомых параметров qi (i = 1, 2, n) регулятора системы.

При этом общую задачу рассматривают как выбор вектора параметров q = [q1, q2, ... , qn]T , оптимизирующего в допустимых пределах значение целевой функции на допустимом множестве Qn.

Однако часто при проектировании системы не проводят подобную оптимизацию, а исходят из удовлетворения заданным требованиям.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы, опираясь на ряд качественных показателей системы, найти соответствующее расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы Л1, Л2, Лп на комплексной плоскости, а затем найти параметры регулятора, обеспечивающие заданное расположение указанных корней. При этом исходными качественными показателями могут быть, например, вид переходного процесса, время регулирования, колебательность, интегральная квадратичная ошибка и так далее. Указанные требования на одновременное выполнение различных качественных показателей создаваемой системы приводят к задаче выделения на комплексной плоскости соответствующих областей допустимого расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы D) = 0 (10.26) переписывается в виде

Лп +an-1 + an-2 + ... + эп-1Л +an = 0. (10.61)

Каждый коэффициент ai (i = 1, 2, n) является функцией от параметров объекта управления и регулятора, то есть