Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[23]

и матрицы наблюдаемости

L=[CT (CA)T (CA2)T ... (CAn-1)T].

Матрица наблюдаемости

(10.29)

Необходимым и достаточным условием управляемости

системы является

"0

невырожденность матрицы управляемости

, det L=1-1=0, следовательно, система ненаблюдаема.

det K*0,

(10.30)

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K < n, то система не полностью управляемая; если rank K = 0 -система полностью неуправляемая.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы наблюдаемости

det L*0.

(10.31)

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы L порядку n системы, то есть rank L = n. Если rank L < n, то система не полностью наблюдаема.

Таким образом, управляемость системы определяется свойствами пары матриц A и B, а наблюдаемость - свойствами пары матриц A и C. Устойчивость системы определяется свойствами только одной матрицы A.

Пример. Оценить принципиальные возможности системы автоматического управления, заданной матрицами:

10.4. Нормальная форма уравнений в пространстве состояний

Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные.

Введем линейное преобразование

где М - модальная матрица матрицы А. Уравнения (10.1) перепишем

mq = amq+ bu y = cmq+du

(10.32)

(10.33)

"0

c = [0 0 1], D=[0].

Решение. Характеристический определитель матрицы А

= -Я3 +1 +1 +Я +Я +Я = -Я3 + 31 + 2

А- ЯЕ =

Решая уравнение - Я + 3Я + 2 = 0, находим собственные числа матрицы А: ?ч=2, я2 = -1, я3 = -1.

Система неустойчива, так как я1=2>0. Матрица управляемости

г1 0 2]

det K=1 -1=0, следовательно, система неуправляема.

Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М-1 , получим

[q = m- 1amq+m - 1bu

Так как M - модальная матрица, то

М-1АМ = Л =

y = cmq+ du

диагональная матрица;

(10.34)

где я1 (при i = 1, 2, ... , n) - собственные числа матрицы А. Следовательно, можно записать

q = л q+b u n

y = c q+d u nn

(10.35)


где л=М-1АМ, Bn= М-1В, Cn=CM, Dn=D - матрицы;

Q=[q1,q2,...,qn]T - вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния qi (при i=1, 2, ... , n).

Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний.

Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q1,q2,...,qn, т.е. они имеют вид

i ni i

(10.36)

где fi - внешнее воздействие на i-ю переменную состояния.

Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем.

В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица л заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например,

(10.37)

Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.

Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x1 и x2. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма)

Откуда матрицы

-2 -3

x = x + 2u

1 2

x = -2x -3x + 1u

y = 1x +2u

c = [1 0], D=[2].

Собственные числа матрицы A: л1= -1, л2= -2.

г-1 -11

Модальная матрица M=

Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут

Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.

вп= м-1в=

Cn=CM=[-1 -1], Dn=D=[2].

Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме

q 1 =-q1 - 5u q 2 =-2q2 + 3u ,


которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния по полюсам

10.5. Управление по состоянию. Системы управления состоянием

Подключение дополнительных контуров обратной связи в многоконтурных системах обеспечивает повышение качества управления. Наиболее полная информация об управляемом объекте содержится в переменных состояния. Управление по состоянию предусматривает введение в структуру системы контуров прямых и обратных связей по переменным состояния объекта управления. При этом задача стабилизации и слежения формулируется как задача поддержания постоянного X = const или изменяющегося по заданному закону X (t) состояния объекта управления X = X (t).

Изменяющиеся во времени или фиксированные сигналы xi , определяющие требуемый характер изменения переменных состояния xi , составляют расширенный вектор задания X = { xi }, а ошибка движения объекта управления по состоянию определяется вектором отклонения e = X - X.

Упраление по состоянию, как и управление по выходу объекта управления, может быть разомкнутым: U = F[X ], замкнутым U = F[e], или комбинированным: U = F[e, X*].

Системы с регуляторами состояния относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими свойствами, чем одноконтурные. Они проектируются для управления как одномерными, так и многомерными объектами управления.

Проанализируем использование линейных регуляторов состояния для решения задач стабилизации и слежения [15].

Рассмотрим задачу стабилизации объекта управления (ОУ) в точке Y* = 0, полагая, что при этом вектор состояния также принимает нулевое значение: X* = 0 (к такому виду задача почти всегда может быть приведена преобразованием координат векторов X и Y).

Простейший регулятор состояния - пропорциональный или модальный регулятор вводит обратные связи по всем переменным xi (рис. 10.5).

Рис. 10.5. Структурная схема системы с П-регулятором

Модальный регулятор реализует пропорциональный закон управления

U = - KxX ,

(10.38)

где K - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию. Для одномерного объекта управления в качестве координат xi вектора X можно выбрать, например, фазовые переменные y, y , y(n-1) , то есть

X = [ x x2 ... xn ]T = [ y y ... y(n-1) ]T , (10.39)

; n - порядок системы.

Тогда K = [ k1 k2 ... kn ]. Выражение (10.38) можно записать в скалярной форме

u = - z k x i= 1

(10.40)

Первые члены закона управления (10.40) соответствуют описанию ПД-регулятора выхода при y* = 0.

Таким образом, регуляторы состояния являются обобщением ПД-регуляторов, хотя и не содержат в явном виде дифференцирующих звеньев. Выбор коэффициентов k матрицы обратной связи K обеспечивает получение заданных динамических свойств системы.

В условиях действия на объект управления внешних возмущений F точностные показатели качества системы с пропорциональным регулятором состояния ограничены. Снижение установившихся ошибок достигается введением в состав регулятора контуров интегральных обратных связей (рис. 10.6).

1 r

Рис. 10.6. Структурная схема системы с ПИ-регулятором



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26]