b12 b22

bb1m 2m

b . b 2 ... b

n1 n2nm

матрица управления;

C12 d22

матрица наблюдения;

d2 ... d r2rm

матрица связи.

Матрица системы А, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т. е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.

Таким образом, четверка матриц А, B, C, D полностью определяет систему управления.

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением.

На рис.10.2 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция.

Значение начального состояния X(t0) и входного воздействия U(t) достаточны для того, чтобы однозначно и единственным образом найти выходную величину Y(t) на интервале времени t0 < t < T, т.е. определить значения Y(t) в текущий момент и предсказать поведение ее в будущем.

Таким образом, стандартное описание систем управления в пространстве состояний позволяет однозначно определить выходную величину системы по известному внешнему воздействию и начальному состоянию системы.

Рис. 10.2. Структурная схема системы в векторной форме: J - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных усилителей

Уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют выработать подход для решения различных классов задач теории управления с единых позиций.

Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых задается выражением (6.31) (см. Раздел 6). Получение уравнений, описывающих скалярную систему в общем виде, изложено в разделе 6.7. Для перехода к описанию в пространстве состояний переменные xi в системе уравнений (6.35) и (6.36) можно рассматривать как составляющие вектора состояния X, а задающее воздействие g принять за внешнее u. В этом случае система уравнений (6.35) и (6.36) соответствует стандартной форме описания систем управления в пространстве состояний (10.1). При этом матрицы А, B, C, D имеют следующий вид:

a a ,

n - n -1

матрица системы, (10.4)

a0 a0a0a0 jnXn

имеющая такую структуру называется сопровождающей или матрицей Фробениуса;

матрица управления;

n -In х1

C =[1 0 0 ••• 0]1х n

D = А I - матрица связи. 01 х 1

матрица наблюдения;

В реальных системах управления степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому ро=0 и ряд коэффициентов pi оказывается равным нулю. Единица в первом элементе матрицы C соответствует тому, какая из переменных x1,x2,...,xn, попадает на выход. В данном случае с выхода системы снимается одна переменная x1.

10.2. Структура решения уравнений переменных состояния

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами [14]

x = ax .(10.8)

Решение ее X(t) характеризует свободное поведение системы. Пусть вектор начальных условий имеет вид

11 = 0 0

Разложим искомый вектор X(t) в степенной ряд по t:

x(t) = x0 + x 0t+x 07 + x + ~

Дифференцируя (10.8), найдем

Тогда при t=0 получим

a2x ; x a2x,

и т. д.

(10.10)

(10.11)

0 ax0;

В итоге ряд (10.10) можно переписать в виде

x 0 = a~v

и т.д. (10.12)

x(t) = X + ax t+ a2X - + a3x 000

t± + = 3!

2 2 3 3

a2t2 a3t3

e+ at+-+-+ .

(10.13)

Подставляя еАtX0 в исходное уравнение (10.8), легко убедиться, что (10.13) представляет собой решение. Полагая в (10.13) t=0, получим X0.

Таким образом, интегрирование однородной системы (10.8) сводится к вычислению матрицы еА и умножению ее на вектор начальных условий X0. Матрица еА называется матричным экспоненциалом или матричной экспонентой. В теории управления она часто называется переходной матрицей состояния.

Решение однородного уравнения (10.8) имеет вид

x(t) = eatx

(10.14)

Если движение начинается в момент времени t=t0, то решение принимает форму

a(t-t0) x(t) = e 0 x0.

(10.15)

a(t-t0)

a(t1 + t2) = eat1 eat2 = eat2 eat1

e= e e = e e

2. Матрица еА - всегда неособенная, ее обратная матрица

3.Если АВ=ВА, то

4.Производная еА

(еАt )-1= е-At . е(А+в)= еА еВ= еВ еА .

{eat ] = aeat = eat

Это означает, что матрица еА коммутирует с А. 5. Интеграл еА

t at t2 2 t3

j eatdt = et + a - + а2 - + ...

2! 3!

а г atdt at откуда a je dt = e

Если матрица А - неособенная, получим

Для решения неоднородного уравнения преобразуем его к виду

X - ax = bu

Матрица eможет быть представлена в виде разложения в матричный

степенной ряд

a(t-t0) да am(t-t0)m

e 0 = z -0- ,

m = 0 m!

который сходится абсолютно и равномерно при любом значении t. Основные свойства матрицы еА1; :

at at

1. Матрицы e 1 и e 2 коммутируют, то есть

(10.17)

(10.18) (10.19)

(10.20)

(10.21)

jeatdt = (eat - e) • a-1 = a-1(eat - e). (10.22)

и умножим слева на

e at(x - ax ) = e atbu.

Левая часть уравнения

-at,-- -- at - - at .d

e at(x - ax ) = e atx- e atax = - (e atx),

ae - at = e - at • a.

поскольку Тогда

Интегрирование последнего выражения дает

- гe - atx) = e-atbu.

atx(t) = e 0xn+J e - ar

x0+ Je bu(r) dr. t0

Умножая полученное уравнение слева на еА и учитывая свойство (10.18), получим окончательно

x(t) = e

a(t-t0) t a(t-r)

0 x0+ Jea(t t)bu(

(r) dr. (10.23)

Первое слагаемое в (10.23) представляет собой решение однородного дифференциального матричного уравнения и описывает свободное движение системы, вызванное начальными условиями, второе слагаемое - вынужденное движение под влиянием внешнего воздействия U(t).

Тогда полное решение системы (10.1) имеет вид

A(t-tA) t A(t-r) Y(t) = Ce 0 X0+ jCeA(t T)BU(r) dr + DU(t). (10.24)

10.3. Характеристики систем в пространстве состояний

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью

Reлi<0; i = 1, 2, ... , n,

(10.25)

где лi - корни характеристического уравнения i AEl = 0;

n - порядок системы. Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель i AEl и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно л

i A-лЕ = a<an +an-1 + an-2 +...+ ал +an = 0. (10.26)

После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.

Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14].

Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

выполнялось условие

G=E-2(E-A)-1

Gk-0, при k-да.

(10.27)

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы Gk. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей.

Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)eRn существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)eRn.

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

K=[B AB A2B ... An-1B](10.28)

входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел лi матрицы А