y(t) • y(t+т),

а спектральная плотность, определяемая как прямое преобразование Фурье от корреляционной функции, имеет вид

SyF)]. Выполнив необходимые преобразования получаем [1]

Sy(co) = i ФgCjю) 2Sg(ro),(9.27)

где Фю) - частотная передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию.

Таким образом, спектральная плотность выходной координаты системы может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции замкнутой системы по задающему воздействию.

Аналогично получается выражение для спектральной плотности ошибки

SxFpixmh ФxgCjю)i 2Sg(ra),(9.28)

где Фго) - частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.

Выражения (9.27) и (9.28) устанавливают связь между спектральными плотностями Sy(c ), Sx(c ) переменной на выходе системы y и ошибки x со спектральной плотности Sg(c ) случайного входного воздействия.

Тогда средние значения квадрата выходной величины системы и ошибки определяются как

2 1 да. ,2

y =- j фg(jro) i sg(ro) dro ;

2 1 7 ii2

x =- j ф (jro) s (ro) dro .

2n 1 xgU 1 g

При действии на систему независимых друг от друга задающего и возмущающего воздействий g(t) и f(t) спектральная плотность ошибки системы будет

Sx(ro) = i ФxgCjю) i 2 Sg(ro) + i Фxf(jю) i 2 Sf(ro),(9.31)

где Фга) - частотная передаточная функция замкнутой системы относительно точек входа помехи f(t) и ошибки x(t);

Sf(c ) - спектральная плотность сигнала помехи f(t).

Суммарная ошибка системы в этом случае будет характеризоваться выражением

2 2,2

x = x + X

i g f

Таким образом оценивается работа линейных автоматических систем при случайных стационарных воздействиях.

Пример. Передаточная функция разомкнутой управления имеет вид

системы

автоматического

s(t1s+1)(t2s+1)

где k - общий коэффициент передачи разомкнутой цепи;

T1 и T2 - постоянные времени. На входе системы действует полезный регулярный сигнал m(t)=nvt и помеха n(t), представляющая собой белый шум со спектральной плотностью Sn(ro)=c2=const. Оценить ошибку системы.

Решение. Установившееся значение ошибки от полезного сигнала

xm = x (да): m

lim sx (s): s - 0

r1s+1)(t2s+1)

: lim s

s - 0s(t1s+1)(t2s+1) + k

Средний квадрат случайной ошибки, вызванной помехой на входе, равен среднему квадрату выходной величины системы от помехи и определяется

2 2

x n = y 1

ф (jro) s (a)dro = gn

c2k2(t1 + t2) 2(t1 + t2 - t1t2k)

Из полученных выражений следует, что увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой цепи системы k с одной стороны ведет к уменьшению установившегося значения ошибки системы от полезного сигнала, однако, с другой стороны для уменьшения среднего квадрата случайной ошибки, вызванной помехой на входе, необходимо, чтобы значение общего коэффициента передачи разомкнутой цепи системы k было минимально.

Оптимальное значение общего коэффициента передачи системы k определяется путем минимизации среднего квадрата суммарной ошибки

( xm + x n) - mvn.

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 9

Дайте определение статистической динамики систем управления.

2.Изобразите базовую структуру модели системы при случайных воздействиях.

3.Перечислите и определите статистические характеристики случайных процессов.

4.Каково свойство эргодической гипотезы?

5.Поясните физический смысл корреляционной функции и спектральной плотности случайного процесса.

6.Каким образом производится оценка работы линейных систем при случайных стационарных сигналах?

7.Как определяется спектральная плотность выходной величины и ошибки системы?

8.Дайте определение средней квадратической ошибки системы и укажите способы ее вычислений.

9.Поясните постановку задачи синтеза оптимальных систем.

10.Каким образом вычисляются значения оптимальных параметров систем из условия минимума средней квадратической ошибки?

Содержание Глоссарий 10. АНАЛИЗ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

вопросы

10.1. Описание систем в пространстве состояний

Развитие высококачественных систем управления потребовало разработки новых методов их анализа и синтеза.

Современная теория управления, основу которой заложили известные работы Л.С.Понтрягина, Р.Беллмана и Р.Калмана, базируется на описании систем в пространстве состояний. Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

Понятие состояния является определяющим в современной теории управления.

Под состоянием системы понимается минимально-необходимый набор переменных величин системы xbx2,...,xn, способных однозначно и единственным образом определить положение системы в любой момент времени t. Совокупность переменных величин xbx2,...,xn образует n-мерное пространство состояний Rn. Вектор с компонентами xbx2,...,xn называется вектором состояния.

Рассмотрим систему (рис.10.1) с m входами (ubu2,...,um), r выходами (yby2,..., yr) и n переменными координатами (x1,x2,...,xn).

Рис. 10.1. Модель системы

Поведение системы во времени можно характеризовать не только выходными величинами, но и промежуточными переменными координатами в цепи системы -переменными состояния xt, число которых равно порядку системы n. Таким образом, получается n-мерный вектор состояния X, множество возможных положений которого образует векторное пространство, называемое пространством состояний системы Rn. Величина и положение вектора состояния системы с течением времени t изменяются, в результате чего вектор X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой

x = ax+ bu y = cx+ du

где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных управляемых величин, U вектор внешних воздействий (задающих и возмущающих), а именно:

А, В, С, D - матрицы системы.

Система уравнений (10.1) является стандартным описанием систем управления в пространстве состояний.

Уравнения (10.1) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t0 < t < T.

Первое уравнение из (10.1) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши)

dx. i

z a..x. . ij j j = 1

z b.u. . ij j j = 1

при i=1,2, ... ,n, (10.2)

где aij и bij - постоянные коэффициенты.

Второе уравнение из (10.1) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений

z c.x.-

z d..u. ij j

при i=1,2,

где cij и dij - постоянные коэффициенты. В стандартной форме описания (10.1)

a11 a12 a1n a21 a22 " a2n

a a ... a

n1 n2nn

матрица системы;