Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[20]

Рис. 9.3. Дифференциальный закон распределения

Выражение ®(x)dx означает вероятность того, что случайная величина содержится между x и x+dx:

ro(x)dx = P (x < £ < x+dx).

Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями x1 и x2, определяется формулой

j 0(x)dx = P(xl < £ <x2), x1

что геометрически выражается заштрихованной площадью на рис.9.3. Вся площадь под кривой ro(x) равна единице:

Jro(x)dx = 1 .

Случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Если закон распределения ro(x,t) не зависит от времени, то такой случайный процесс называется стационарным, в противном случае - нестационарным. В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т.е. юД®).

Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, на практике используются более простые усредненные статистические характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.

Статистический метод изучает не отдельную реализацию случайного процесса, а свойство всего множества в целом путем их усреднения. При этом используются следующие статистические характеристики.

Среднее по множеству значение случайной величины (математи-ческое ожидание)

x(t)= j x(t)ro(x,t)dx.

Среднее по множеству значение квадрата случайной величины

(t)= j x (tXxdx.

Дисперсия

Dx = а~ = j (x(t) - x(t))2 го (x, t)dx = x2(t) - (x(t))2 :

среднеквадратичное отклонение.

Для стационарных случайных процессов эти характеристики не зависят от времени t, в отличие от нестационарных случайных процессов.

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия или среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой.

Кроме средних по множеству значений случайной величины определяют средние по времени значения для отдельной реализации случайного процесса.

Среднее значение по времени случайной величины x определяется на интервале времени T (рис.9.4)

x(t) = lim - J x(t)dt. T - да 2T - t

Рис. 9.4. Реализации случайного процесса

Среднее значение по времени квадрата случайной функции x

21 T 2

x (t) = lim - j x (t)dt

T - да 2T - t

Дисперсия

lim - j(x(t)-x(t))2dt = x2(t) - (x(t))2, (9.9) t - да 2t - t

среднеквадратичное отклонение.

Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодической гипотезы, в соответствии с которой для стационарного случайного процесса с вероятностью,

(9.5) (9.6)


равной единице, всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности

x(t) = x(t);

x = x ;

и т. д.

3ргодическая гипотеза позволяет значительно упростить все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения статистических характеристик, вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой x(t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями.

Корреляционная функция. Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции x(t) и x(t1), взятых в моменты времени t и t1, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Корреляционная функция является универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t1) от предыдущего значения x(t) в момент времени t. 3то есть мера связи между ними.

В случае стационарного случайного процесса (рис.9.5) корреляционная функция R(t) представляет собой среднее во времени значение за промежуток времени T->да от произведения случайных величин x(t) и x(t+x), взятых в случайном процессе в любые два момента времени, отличающихся друг от друга на определенный промежуток времени т

x(t) • x(t + т)

lim - j (x(t) • x(t + T)dt. t - да 2t - t

tt+тТ t

Рис. 9.5. Реализации случайного процесса

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины x в последующий момент времени t+т от предыдущего значения в момент t. Корреляционная функция имеет вид,

Рис. 9.6. Корреляционная функция случайного процесса

Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса [1].

Корреляционная функция является четной функцией, т.е. R(t)=R(-t).

При т=0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

При т-да имеем

R(°°) = (x)

= x .

2 (x)2 = (x)

Корреляционная функция суммы двух стационарных случайных процессов z(t)=x(t)+y(t) определяется как

Rz(r) = (x(t) + y(t))(x(t+ т) + y(t+ т)) = Rx(r) + Ry(z) + Rxy (т) + Rr), (9.14)

где r (т ) , r (т ) - взаимные корреляционные функции.

Они характеризуют взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени т. При

т=0 будет r (0) = r (0).

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливы

равенства r (т ) =0 и r (т) =0 .

Спектральная плотность стационарного случайного процесса.

Представляет собой прямое преобразование Фурье от корреляционной функции

s (c) = j r (т) • e"

Чтобы определить корреляционную функцию RxCt) по известной спектральной плотности Sx(c ) используется обратное преобразование Фурье

представленный на рис.9.6. Чем менее инерционен объект наблюдения, тем быстрее убывает R(t) с увеличением т. Она постоянна для всех случайных процессов, подчиненных одинаковому закону распределения.


1 даj

- j S (ro)• e}aTdro.

2n x - да

Для т=0 имеем

- j S (ro)dro .

2n x -а

Последнее выражение представляет собой важное свойство спектральной плотности, заключающееся в том, что интегрирование ее по всем частотам от -да до +да дает средний квадрат исходной функции времени x(t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от c до c +dc .

Рис. 9.7. Взаимосвязь между случайной функцией и ее характеристиками

Аналогично взаимным корреляционным функциям введено понятие взаимных спектральных плотностей:

S (го) = j R (г) • e~J~"dr;

S (ro) = j R (г)• e-jror

Связь между случайной функцией, ее корреляционной функцией и спектральной плотностью приведена на рис.9.7.

9.3. Оценка работы линейных автоматических систем при случайных стационарных воздействиях

21 2

y2 = lim - j y2(t) dt

T - да 2T - t

и квадрата ошибки

~21 T 2

x = lim - j x (t) dt.

T - а 2T - T

Эти величины можно найти через их корреляционные функции и спектральные

плотности

2 1 да

y2 = R (0) = - j S (ro) dro ;

y 2n y -

T 1 да

x = R (0) = - j S (ro) dro.

x 2n x -

Следовательно, для исследования статистической точности автоматических систем необходимо вычисление корреляционных функций Ry(r), Rx(r) и спектральных плотностей Sy(ro), Sx(ro) переменной на выходе системы y и ошибки x по известной корреляционной функции Rg(r) и спектральной плотности Sg(ro) случайного входного воздействия.

Для установления взаимосвязи между корреляционными функциями переменных входа и выхода системы, а также взаимосвязи между их спектральными плотностями используется известное интегральное уравнение (интеграл Дюамеля), на основании которого

y(t)=J g(A) • wy(t- Л) d Л = J g(t- Л) • wU) d Л, (9.24)

где wy(t) - весовая или импульсная функция замкнутой системы по задающему воздействию g(t);

Л - вспомогательное время интегрирования.

Тогда корреляционная функция выходной величины

Оценить работу автоматических систем при сигналах внешних воздействий в виде стационарных случайных процессов можно с помощью корреляционных функций и спектральных плотностей.

Если задающее воздействие g(t) является случайным процессом, то выходная координата системы y(t) и ошибка воспроизведения x(t)=g(t)-y(t) представляют собой также случайные процессы.

Следовательно, при случайных воздействиях речь может идти об определении не мгновенных, а лишь некоторых средних значений выходной переменной системы и ошибки.

Такими средними значениями являются среднее значение квадрата выходной переменной системы



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26]