x (да) = lim sX(s) = lim s<D xg (s) • G(s) = lim s-

g s - 0s - 0s - 0 1 + W(s)

(T1s+ 1)(T2s+1) g1

= lim s 1 2 • 1

s - 0 (T1s+1)(T2s+1)+k s2

для астатической системы первого порядка при r=1:

s- (T1s+ 1)(T2s+1) g1 g1

x (да) = lim s-1-2---1 = -;

g s - 0 s- (T1s+1)(T2s+1)+k s2 k

для астатической системы второго порядка при r=2:

s2 • (T1s+ 1)(T2s+1) g1

x (да) = lim s-1-2---1 = 0.

g s - 0 s2• (T1s+1)(T2s+1) + k s2

Включение в систему изодромных устройств. Изодромное звено, представляющее собой комбинацию интегрирующего звена и форсирующего звена первого порядка, имеет передаточную функцию вида

T s+1 k (T s+1) и = и и

где Ti -

постоянная времени;

коэффициент передачи изодромного устройства.

Изодромное устройство, объединяя в себе введение интеграла и производной, лишено недостатков предыдущего звена и позволяет получить необходимую степень астатизма системы, сохраняя устойчивость и качество. Это устройство изменяет лишь низкочастотную часть амплитудной частотной характеристики, влияющую на точность системы (повышает ее), а отрицательный сдвиг фазы на частоте среза, существенный для условия устойчивости, невелик при соответствующем выборе постоянной времени Ti.

Структурная схема системы управления при введении изодромного устройства представлена на рис.7.2.

Из структурной схемы следует, что если в случае простого введения интеграла управление в системе производится только по интегралу от ошибки, то при изодромном устройстве получаем управление как по ошибке, так и по интегралу от ошибки.

Рис. 7.2. Структурная схема системы с изодромным устройством

Для дальнейшего повышения степени астатизма системы можно использовать не одно, а два, три и т.д. изодромных устройств.

7.2. Теория инвариантности и комбинированное управление

Одним из эффективных способов, позволяющих получить высокую точность в системах управления, является использование методов теории инвариантности. Система управления является инвариантной по отношению к внешним воздействиям, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка системы не зависит от внешних воздействий.

Основной принцип управления состоит в формировании управляющего воздействия по величине ошибки. Если же вводятся компенсирующие цепи по внешним воздействиям, то получается комбинированное управление - по ошибке и по внешним воздействиям.

При введении компенсаций по внешним воздействиям теоретически при определенных условиях удается сводить величину ошибки к нулю для любых внешних воздействий. Это свойство инвариантности системы по отношению к внешним воздействиям.

Внешние воздействия делятся на задающие, которые система должна воспроизводить, и возмущающие, действие которых требуется нейтрализовать.

Комбинированная система по задающему воздействию. Здесь, наряду с отклонением, во внутреннюю цепь системы вводится сигнал от задающего воздействия с помощью компенсирующего устройства по задающему воздействию с передаточной функцией WK3(s) (рис.7.3).

Рис. 7.3. Структурная схема комбинированной системы по задающему воздействию

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом управления по задающему воздействию будет равняться

а для ошибки

Ф (s) = 1 - Ф (s)

[1 + W (s)]W(s)

1 + W(s)

1 - W (s) W(s) кз

1 + W(s)

Установившаяся ошибка будет равняться нулю для любого задающего воздействия при Ф (s) = 0, то есть если

Wks(s) =

Разложив последнее выражение в ряд по возрастающим степеням оператора s, получим необходимый вид функции, определяющей компенсирующий сигнал от задающего воздействия:

Wks(s) = b0 + b1s + b2s2 + b3s3 + ...

Таким образом, в комбинированной системе по задающему воздействию для получения полной инвариантности необходимо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия.

Полностью инвариантную систему реализовать сложно, но всегда можно сделать систему инвариантную до e, где e - допустимая ошибка работы системы.

Комбинированная система по возмущающему воздействию. В этом случае наряду с управлением по отклонению используется управление по возмущающему воздействию f(t). Передаточная функция компенсирующего устройства по возмущающему воздействию Ws) для системы инвариантной к возмущающему воздействию определяется аналогично рассмотренному выше случаю.

Передаточная функция замкнутой системы для управляемой величины по возмущающему воздействию имеет вид [1]:

wf(s) - w (s)w(s) Ф) = -кв

1 + w(s)

где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы;

Wf(s) - передаточная функция по возмущающему воздействию в

разомкнутой системе. Условие полной инвариантности может быть получено, если положить Ф)=0. Тогда

Wm(s) :

Эта функция может быть представлена в виде ряда, аналогично (7.7). Здесь также можно ограничиться неполной инвариантностью, если точное удовлетворение условию (7.9) вызывает технические трудности.

Особая трудность заключается в том, что возмущающие воздействия f(t), в

Рис.7.4. Структурная схема системы с неединичной главной обратной связью

В этом случае передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию примет вид

1 + w (s)w(s)

Для получения полной инвариантности необходимо выполнить условие Y=G, иначе Фg(s)=1• Отсюда требуемая передаточная функция главной обратной связи должна быть

w(s) -1

w (s) = --.(7.11)

При разложении этого выражения в степенной ряд получим

Wo(s) = ko - [t1s + (t2s)2 + (t3s)3 + ... ].

Отсюда видно, что для получения полной инвариантности необходимо использовать главную обратную связь с коэффициентом передачи ko, в общем случае отличном от единицы, и дополнительно ввести положительные обратные связи по производным от управляемой величины. Это условие можно выполнить практически только приближенно. Однако при таком способе, как видно из передаточной функции замкнутой системы, существенно меняется ее характеристическое уравнение. Поэтому одновременно требуется принимать дополнительные меры для того, чтобы получить желаемое качество переходного процесса.

В установившемся режиме (s=0) из (7.11) в системе без астатизма имеем

отличие от задающих g(t), далеко не всегда можно подать на входы компенсирующих цепей.

Положительной особенностью комбинированных систем является то, что введение компенсирующих устройств по внешним воздействиям, как следует из выражений для передаточных функций (7.4) и (7.8), не меняет характеристическое уравнения системы, работающей по отклонению. Это означает, что не будут нарушаться не только условия устойчивости, но сохраняются и оценки качества переходного процесса.

Следовательно, этот способ существенно повышает точность системы без заметного ухудшения качества переходного процесса.

7.3. Неединичные обратные связи

Неединичные главные обратные связи применяются для уменьшения ошибки от задающего воздействия. Введем в главную обратную связь, которая обычно равняется единице, устройство с передаточной функцией W0(s) (рис.7.4).

где k = W(0).

Следовательно, если ввести в главную обратную связь системы коэффициент передачи ko согласно (7.12), то система будет иметь нулевую установившуюся ошибку от задающего воздействия без введения интегрирующего звена.

7.4. Чувствительность систем автоматического управления

Чувствительность систем автоматического управления - это степень влияния разброса параметров и их изменений в процессе работы на статические и динамические свойства системы управления, то есть на точность, показатели качества, на частотные свойства и др.

Параметры системы управления (коэффициенты передачи и постоянные времени) определяются физическими параметрами составляющих ее элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивностей и т. п.). Величины физических параметров элементов, во-первых, имеют технологический разброс, обусловленный допусками на изготовление элементов, во-вторых, подвержены эксплуатационным изменениям с течением времени, что обусловлено их старением.

Поэтому встает задача оценки работы системы при изменении и разбросе параметров составляющих ее элементов.

Эта задача решается путем количественной оценки чувствительности системы. Для этого требуется описать систему управления уравнениями в нормальной форме [2], т.е.

dx. i

a.,x,+ a..x„ + ... + a. x + f при i=1, 2, i1 1 i2 2in n i

где n - порядок системы; xi - координаты состояния системы; fi - внешние воздействия, прикладываемое к системе;

aik - коэффициенты уравнения, определяемые величинами физических параметров составляющих систему элементов.

Изменяющиеся со временем параметры элементов системы в процессе эксплуатации и от разброса при изготовлении обозначим через aj (j=1, 2, ... , m).

Тогда уравнение системы (7.13) можно записать в виде

Mv 12 n 1 2

a ,f) при i=1, 2, ... , n. (7.14) m v

dt I 12n 1 2

Решение уравнений (7.14) определяет координаты системы: x1(t), x2(t), образующие исходное движение системы.

Пусть параметры aj изменяются на малые величины Aaj , тогда имеем

a1 + ;

= a + Aa mm

V-(x,x„, ... ,x ,a + Aa,a + Aa, ••• ,a + Aa ,ff(7.15) dt i 12 n 1 12 2 m m v

при i=1, 2, ... , n.

Процесс в той же системе, но с измененными параметрами, определяемый решением уравнений (7.15), т.е. ~x1 (t),~x2(t), ... ,~xn(t), называется варьированным

движением.

Возникшее различие в протекании процессов в системе за счет изменения параметров

ax. (t) = (t) - (t) при i=1, 2, ... , n называется дополнительным движением.

При малых отклонениях Aaj эта разность может быть определена следующим образом:

A x.(t) =-v- Aa +-- Aa+...+-- Aa при i=1, 2, ... , n. (716)

r da 1 da 2 da m 12m

Обозначим

u(t) =-- (j=1, 2, ... , m).

Тогда дополнительное движение будет

Ax.(t) = u., Aa + u.„ Aa + ... + u. Aa при i=1, 2, ... , n. (7.18) i i1 1 i2 2im m

Величины

определяемые выражением (7.17), представляют собой

функции чувствительности i-ой координаты системы по j-ому параметру.

Таким образом, чтобы оценить степень влияния разброса и изменения параметров на координаты системы необходимо определить функции чувствительности по каждой координате от каждого изменяющегося параметра.

В рассматриваемом случае xi(t) являются координатами состояния системы. Вообще же аналогичные характеристики чувствительности вводятся так же для различных показателей качества системы. Тогда в формуле (7.17) вместо xi будет стоять соответствующий показатель качества, а в формуле (7.18) - вместо Axi -изменение этого показателя качества. Функции чувствительности для частотных характеристик будут функциями не времени, а частоты. Если показатели качества выражаются не функциями, а числами, то uij называются коэффициентами чувствительности.

Если в качестве изменяющихся параметров aj выбрать внешние воздействия, то можно получить функции чувствительности системы по отношению к внешним воздействиям.

Рассматривая малые изменения параметров aj (j=1, 2, ... , m), получим новые уравнения