+ t2(x )2]dt:

назначается в соответствии с

заданием

желаемых свойств переходного

где T процесса.

Наименьшее возможное значение J4 будет при x +Txx = 0. Решение этого дифференциального уравнения x=x0e-t/T и будет той экспонентой, к которой приближается переходный процесс при стремлении уменьшить значение интегральной оценки J4.

В качестве интегральных критериев используются и функционалы более общего вида. Иногда в выражение интегральной оценки вводится время в явном виде.

Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.

Интегральные критерии применяются в теории оптимальных систем управления.

6.7. Моделирование систем управления

Моделирование систем управления - это эффективный инструмент исследования сложных систем.

Модель представляет собой изображение оригинала на основе принятых гипотез и аналогий, а моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Основное требование, которому должна удовлетворять модель, является ее адекватность объекту. Адекватность зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются на практике и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.

Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, предсказания их функционирования, синтеза структуры, параметров и алгоритмов поведения.

Модели бывают математические и физические. Физические модели сохраняют физические свойства объекта, а математические модели представляют собой математические конструкции. В основе математического моделирования лежит подобие дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы, происходящие в реальной системе и в модели. В настоящее время универсальным инструментом реализации математических моделей является ЭВМ. Цифровое моделирование систем управления основывается на численном решении уравнений, описывающих систему.

Рассмотрим систему с одним входом g(t) и одним выходом y(t). Передаточная функция замкнутой системы в общем случае имеет вид

1 n , n

b0s +b1s

a0s + a1s

+ ... + a

где n - порядок системы.

Если порядок числителя передаточной функции (6.31) окажется меньше порядка знаменателя, т.е. m<n, то b0, ... , bn-(m+1)=0.

Передаточной функции замкнутой системы соответствует дифференциальное уравнение

( a0pn+ a1pn-1+...+ an)y(t) = (bpn+ b1pn-1+...+ bn)g(t). (6.32)

Для получения обобщенной модели системы это уравнение разрешают относительно старшей производной выходной величины:

n 1 n-1n n-1

pny(t) =-[ -( a1pn-1+...+ an)y(t)+(b0pn+ b1pn-1+...+ bn)g(t)] (6.33)

pny(t):

-z aipn-iy(t)+ z bipn-ig(t) (6.34) i=1i=0

Таким образом, чтобы найти выходную величину y(t) необходимо pny(t) проинтегрировать n раз.

Уравнению (6.34) соответствует структурная схема модели, представленная на рис.6.8.

Для программной реализации полученной схемы решения исходного дифференциального уравнения (6.32) последнее переписывают в форме Коши. Для этого вводятся промежуточные переменные x1, ... , xn, соответствующие выходным величинам интеграторов. В результате получим следующую систему уравнений:

px = n

px1 = x2 + P1g px2 = x3 + p2g

pxn-1 = xn + pn - 1g

a a , n n- 1 --x1--

a0 a0

и уравнение связи

y(t) = x1 + p0g(t).(6.36)

n xn

V»0

n-1 x

-"%x7%fy(t)

Рис. 6.8. Структурная схема модели системы

Коэффициенты pi (где i=0, 1, 2, ... , n) определяются из условия эквивалентности системы уравнений (6.35), (6.36) исходному дифференциальному уравнению (6.32) и вычисляются последовательно следующим образом:

Р- = (ъ. i i

j-j)/ao

В настоящее время разработано большое количество систем моделирования, например, Continuous System Simulation Environment (CSSE).

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 6

1.Дайте понятие качества работы системы управления. Чем оно определяется ?

2.Что представляют собой критерии качества?

3.Как производится оценка точности работы систем?

4.Чему равны первые два коэффициента ошибок в системах с астатизмом первого и второго порядков?

5.Определите показатели качества переходного процесса и частотные показатели, поясните их физический смысл.

6.Поясните связь частотных показателей качества работы системы с частотными характеристиками разомкнутой цепи.

7.Что представляют собой корневые оценки качества?

8.В чем удобство и недостатки интегральных критериев качества?

9.Каким образом экспериментальным путем можно оценить качество работы системы?

10.Какова роль моделирования систем управления?

Содержание Глоссарий

7. ТОЧНОСТЬ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

7.1. Общие методы повышения точности систем управления

вопросы

К числу общих методов повышения точности работы систем управления относятся:

1)увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы;

2)применение управления по производным от ошибки;

3)повышение степени астатизма.

Увеличение общего коэффициента передачи k разомкнутой цепи является универсальным и эффективным методом повышения точности и быстродействия системы. При этом, что следует из раздела 6.2, уменьшаются все виды установившихся ошибок системы. Увеличение k осуществляется последовательным введением усилительного звена в прямую цепь системы. Иногда это достигается путем повышения коэффициентов передачи отдельных звеньев.

Однако увеличение общего коэффициента передачи ограничивается, как видно из раздела 5, устойчивостью системы. В этом сказывается противоречие между требованиями к точности и устойчивости системы. Поэтому увеличение общего коэффициента передачи до значения, при котором обеспечивается требование к точности системы, может производиться при одновременном повышении запаса устойчивости с помощью введения корректирующих устройств.

Введение управления по производным от ошибок. Это простейший метод улучшения качества работы системы. Структурно введение производной показано на рис.7.1. Технически это реализуется различными дифференцирующими звеньями.

Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае будет

W(s) = (Тд s+1)WR(s)Woy(s),

где Wcms) - передаточная функция объекта управления; WR(s) - передаточная функция регулятора; Тд - постоянная времени дифференцирующего звена.

Рис.7.1. Структурная схема системы управления при введении производных от ошибок

Введение дифференцирующих звеньев в систему добавляет положительную фазу следовательно, повышает запас устойчивости системы, что дает возможность

где W1(0)= k;

k - коэффициент передачи разомкнутой системы; г - степень астатизма системы. При г=0 система называется статической, при г=1 - астатической первого порядка и т.д.

Физически повышение степени астатизма достигается за счет введения в систему управления интегрирующих звеньев.

Введение интегралов от ошибки используется для устранения установившихся ошибок в различных типовых режимах: в неподвижном положении, при движении с постоянной скоростью, при движении с постоянным ускорением и т.д. Формально это сводится к тому, чтобы сделать равными нулю первые коэффициенты ошибок системы, например, с0=0 при г=1, с0=с1=0 при г=2, с0=с1=с2=0 при г=3 и т.д.

Однако включение каждого интегратора в прямую цепь системы вносит отрицательный фазовый сдвиг -900, ухудшая тем самым устойчивость и качество переходного процесса. В случае введения двойного интеграла система становится структурно неустойчивой (неустойчивой при любых значениях параметров).

Таким образом, повышение степени астатизма неблагоприятно сказывается на устойчивости и качестве переходного процесса системы. Поэтому одновременно с повышением степени астатизма в системе приходится использовать корректирующие устройства.

Пример. Определить установившиеся ошибки от задающего воздействия g(t)=g1xt системы, передаточная функция разомкнутой цепи которой имеет вид

W(s) =-

sr • (T1s+1)(T2s+1)

Решение. Изображение по Лапласу задающего воздействия G(s)=g1/s2. Установившаяся ошибка от задающего воздействия для статической системы при

увеличить общий коэффициент передачи k и тем самым улучшить точность управления.

Кроме того, введение управления по производным позволяет системе чувствовать не только наличие ошибки, но и тенденцию к изменению ее величины, то есть делает работу системы с "предвидением", что обеспечивает повышение быстродействия и снижение динамической ошибки системы, тем самым улучшая качество переходного процесса.

Так как дифференцирование эквивалентно дополнительному усилению высоких частот, то использование более двух дифференцирующих звеньев затруднительно вследствие возрастания влияния высокочастотных помех.

Введение интеграла от ошибки является методом создания или повышения степени астатизма системы управления, а значит, и увеличения ее точности. При астатическом управлении W(0)--oo. В связи с этим передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде