Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица ai (i = 1, 2, ... , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Система устойчива, если ai > 0 для всех i = 1, 2, ... , n.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен

an = an x an-1

Поэтому его положительность сводится при an-1>0 к условию an>0, Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.

Если определитель an=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель an-1=0. Из условия an-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде:

Исследовать устойчивость системы.

s(T1s + 1)(T2s +1)

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы D(p)=0, где d(p) = 1 + w(s) .

Откуда следует

p(t1p+1)(t2p+1)+k = 0.

Раскрыв скобки, получим

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

Тогда имеем: a0 = T1 T2 ; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k. Коэффициенты характеристического уравнения положительны. Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными: a1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0; a2 = a1xa2 - a0 xa3, откуда (T1 + T2) - kT1T2 > 0; a3 = a1xa2xa3 - a0xa32 = a3( a1xa2 - a0xa3 ), откуда a3 >0 , то есть k > 0.

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид

Рис. 5.7. Область устойчивости по двум параметрам

Как видно, при увеличении постоянных времени T1 и T2 область устойчивости сужается. Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k. При любых заданных T1 и T2 существует свое граничное значение общего коэффициента передачи kp, после чего система становится неустойчивой.

Далее можно построить область устойчивости и в пространстве трех параметров k, T1, T2. Границами устойчивости здесь будут являться три координатные плоскости

(T1 + T2) > kT1T2 или k < ( L + 1 ).

t t

Границы устойчивости:

1)an = 0, k = 0;

2)an-1 = 0, = ( L + J );

t t

3)a0 = 0, T1T2 = 0.

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T1, T2 и найти области устойчивости системы.

Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней: k = 0 и k = kp (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.

О (l/T-t+l/T)

Рис. 5.6. Область устойчивости по одному параметру

Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T1. Вторая

1 11

граница - = k--имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = -. Третья

т тт

1 22

граница Т1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.

и криволинейная поверхность, сечениями которой как в вертикальных так и в горизонтальных плоскостях будут гиперболы.

5.4. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего запишем выражение для характеристического вектора, которое получим из характеристического полинома системы (4.2), предварительно разложенного на множители, путем замены p на jo:

D(jcc) = an(jro- p1)(jro- p2)...(jro- pn),(5.9)

где pi - корни характеристического уравнения (полюсы системы).

Определим изменение аргумента вектора D(jro) при изменении частоты с от -оо

a arg D(jro) = 2 arg(jro- pi) при -о <ro<+o. i = 1

Если корень характеристического уравнения pi расположен на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то вектор (jro-pi) поворачивается на угол п, если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор (jro-pi) поворачивается на угол -п. Допустим, что m корней характеристического уравнения расположены справа от мнимой оси, а остальные n-m корней - слева. Тогда изменение аргумента характеристического вектора равно

a arg D(jro) = (n-m)n при -co <ro<+o.

В устойчивой системе m=0, и изменение аргумента характеристического вектора получается следующим:

a arg D(jro) = n- при 0<ro<+o.(5.10)

Критерий устойчивости Михайлова.

Из выражения (5.10) следует критерий устойчивости Михайлова, согласно которому изменение аргумента характеристического вектора определяется по годографу вектора, записанному в виде

D(jro) = X(ro) + jY(ro) = De ,(5.11)

где X(ro) и Y(ro) действительная и мнимая части характеристического вектора, а D(ro) и v/(k)) его модуль и аргумент.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jro) при

Рис. 5.8. Кривая Михайлова: а - устойчивой системы 3-го порядка; б - неустойчивой системы

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В этом случае

X(ro) = 0 и Y(ro) = 0.(5.12)

Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример. Исследуем на устойчивость систему, рассмотренную в предыдущем примере, характеристический полином которой имеет вид: D(p) = T1 T2 p3 + ( T1 + T2 )p2 + p + k.

Решение. Найдем годограф характеристического вектора D(jro) = T1 T2 (jro)3 + ( T1 + T2 )(jro)2 + jro + k.

Re D(jro) = X(ro) = k - ( T1 + T2 )ro2; Im D(jro) = Y(ro) = с - T1 T2 с3 .

Для того, чтобы система 3-го порядка была устойчива, кривая Михайлова должна последовательно проходить три квадранта (рис.5.9).

изменении с от 0 до о равнялось бы n- .

Другими словами, система устойчива, если годограф характеристического вектора (кривая Михайлова), начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.

На рис.5.8 приведены примеры годографов для устойчивой и неустойчивой систем.

Рис. 5.9. Кривая Михайлова

Найдем условие устойчивости из требования чередования корней

0=ю1<ю2<ю3.

Корень ю2 находится из уравнения Х(ю)=0, откуда

»2

Т1 + Т2

Отсюда первое условие устойчивости: k>0. Корень со3 находится из уравнения Y(co)=0, откуда

Подставляя эти значения в требуемое условие со2<со3, получаем второе условие устойчивости системы

1 1

k < (- + -),

т1 т2

которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица.

Критерий устойчивости Найквиста.

На практике более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим случай, когда разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев. Введем вектор

L(jo) + N(jcy)

F(joo) = 1 + W(joo) =

где W (j a>) -

частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Числитель (5.13) является характеристическим вектором замкнутой системы, а знаменатель - характеристическим вектором разомкнутой системы. Определим изменение аргумента вектора F(jco) при изменении частоты со от 0 до +да для случая, когда замкнутая система устойчива:

A arg F(joo) = A arg [L(joo)+N(joo)] - A arg L(joo) = 0 при 0<со<+оо.

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая системы устойчивы, то изменение аргумента вектора F(joo) равно нулю, следовательно, его годограф не охватывает

характеристики равно -r

а амплитудной частотной - бесконечности, система в

разомкнутом состоянии нейтральна. В таких астатических системах для удобства оценки устойчивости АФЧХ разомкнутой системы дополняют дугой бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости. Формулировка критерия устойчивости при этом не изменяется.

Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1, j0), то система в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Аналогичным образом доказывается критерий Найквиста и для случая, когда разомкнутая система неустойчива.

Формулировка критерия.

1.Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1, j0).

2.Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до да оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число полюсов разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

абсолютно устойчивая

нейтральная

неустойчивая

C-i.jO)

Рис.5.10. АФЧХ статических разомкнутых систем

Графики на рис.5.10,а соответствуют абсолютно устойчивой, нейтральной и неустойчивой системам. Система, АФЧХ разомкнутой цепи которой пересекает вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0), называется абсолютно устойчивой. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении общего коэффициента передачи разомкнутой цепи.

начала координат. В противном случае, когда годограф F(joo) охватывает начало координат, изменение его аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоянии неустойчива. Очевидно, что об изменении аргумента вектора F(jro) удобнее судить по годографу частотной характеристики разомкнутой системы, т.е. по ее амплитудно-фазовой частотной характеристике. Действительно, изменение аргумента вектора F(jro) будет равно нулю, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, j0).

Если система содержит r интегрирующих звеньев, число r которых определяет степень астатизма системы, то начальное значение фазовой частотной