py = px1 + k0 pu = x2 + k1u + k0 pu .

p y = px2 + k1 pu + k0p u = x3 + k2u + k1 pu + k0p u,

pny = pxn + kn-1 pu + ... + k0pnu = -an-1 xn -... - a0x1 + knu + kn-1 pu +... + k0pnu. Подставляя в последнее уравнения значения x1 = y - k0u->

x2 = py - k1u - k0 pu,

xn = pU 1 y - kn-1u - kn-2pu - ... - k0pn 1u, можно получить, после приведения подобных членов уравнения,

(pn + an-1 pn-1 +... + y =

k0pn + (k1 + an-1k0)pn-1 + (k2 + an-1k1 + an-2k0)pH~2 + ... + (kn + an-1kn-1 + ... + a0k0)\ u

. Сравнивая коэффициенты этого уравнения с коэффициентами уравнения (ОУ ДС), получим рекуррентные формулы для коэффициентов

k0 = bn,

k1 = bn-1 - an-1k0 ,

k2 = bn-2 - an-1k1 - an-2k0->

ki = bn-i - X an-i+ jk

Очевидно, способ применим и для случаев m < n, при этом соответствующие коэффициенты b0,b1,... полагаются равными нулю.

Можно привести к фазовым переменным также уравнения системы с несколькими воздействиями, составленные для одной переменной y .

Приведение ММ к каноническим формам. Пусть дан односвязный ОУ с

M (s) /ОД

Пусть корни ХП Н(s) - простые, si, i = 1,2,...n. Разлагая W(s) на

множители и представляя в виде Y (s)

M (si) 1

i?1 H (si) • (s - si)

U (s),

m ( s-)nu

обозначая -- = b и полагая Y(s) = Y biXi (s), где Xi (s) = --, можно,

переходя к оригиналам, получить

xi = sixi + u.; .i = 1,...,n;

y = E bixi,

Матрица системы (КФ ММ) диагональная

(ДФ1ММ)

поэтому ее элементами являются корни характеристического уравнения. Диагональ матрицы, упрощающая вычисления, и непосредственная связь коэффициентов с корнями - основные преимущества формы.

Другой вид канонической формы получается из разложения

Y(s) = E Xt (s), где X1 (s)

принимает вид

U(s). Тогда система ДУ, сохраняя Д-форму,

xi = sixi + biu.; .i = 1,...,n.

(ДФ2ММ)

Жорданова каноническая форма. Пусть теперь полином Н(s) имеет

кратные корни Н(s) = (s - sl)kl (s - s2)2 ...(s - sr)kr.

Матрица A имеет в этом случае каноническую жорданову форму

~Jki(s1) 0 ... 0 " 0 Jk2(s 2) ... 0

Jkr (sr)

каждый диагональный элемент которой - жорданова матрица вида

Jki (si )

si 8iki

где 8ц, j = 1,2,...,ki, принимают значения 0 или 1.