Таким образом, элементы передаточной матрицы представляют собой следующие ПФ

8s 2 - s - 7 s3 + 2s2 - s - 2

;. W12(s)

, ч 17s2 +29s+14

W21(s) = 3 „ 2-Г;

s3 + 2s 2 - s - 2

9s 2 - 3s - 6 s3 + 2s 2 - s - 2

11s 2 + 7 s + 2 s3 + 2s2 - s - 2

а выражение для МПФ системы примет вид

8s2 - s -7

9s2 -3s -6

s3 + 2s2 - s - 2 s3 + 2s2 - s - 2 I 17 s 2 + 29s +14 11s 2 + 7s + 2

2 s3 +2s2

3.2. Приведение уравнений вход - выход к уравнениям переменных состояния

в нормальной форме

Решение обратной задачи - определение уравнений состояния по заданной передаточной функции, в особенности для многомерных систем, также, в ряде случаев, связано с существенными трудностями. Начать следует с рассмотрения частных случаев в порядке возрастания сложности.

Одномерная ММ с нулевы порядком числителя. Линейное уравнение для одной переменной без операторов дифференцирования в правой части, с одним воздействием

(апрг + an-1 pn-1 +... + a0) • y = k • u(ВВ ММ-1)

приводится к форме, часто называемой "нормальной", т.к. она характерна тем, что сама переменная y и ее n -1 производная принимаются за переменные состояния, а n -я производная выражается из уравнения (ВВ ММ-1) через них:

= xi+u i =1 n -

xn = (k u an-1 xn

a0 X1X

(СДУ-ФК)

y = x1.

Если возможно отобразить переменные состояния в нормальной форме в пространстве состояний, то это пространство называется фазовым, а сами

координаты - фазовыми координатами. В фазовой плоскости, на которую отображено таким образом движение ИТ в ПС, координаты представляют фазы этого движения, отсюда и произошло название, которое затем было расширено на многомерные пространства.

Матрица A нормальной системы равна:

a0 a1 a2

К нормальной форме могут приводиться также уравнения нестационарных и нелинейных систем, которые разрешаются относительно старшей производной

y(n) = f (t, y, yy(n-1)),(ВВ-ДУ)

где f - функция, определенная на некотором открытом множестве. Уравнения аналогичным предыдущему образом приводятся к виду

x+1, i = 1,2,..., n -1, f(t, x1, x2,... , xn),

y = x1.

(ФК-ДУ)

Одномерная ММ с ненулевым порядком числителя m < n. Уравнения

односвязных систем с операторами в правой части имеют вид

аnp + an-1р + ... + a0) y = (bmp + bm-1p + ... + b0) u1-m < n,

и также приводятся к фазовым переменным следующим образом. Необходимо представить операторные выражения в виде

(ОУ-ДС)

bmpm + ... + b0 anpU + ... + a0

и, затем, перейти к операторным уравнениям состояния и наблюдения

(anpn +... + a0) • х = u ; (УС) y = (bmpm +... + bO x. (УН) Обозначая, далее,

xi+1; i = 1,2,...,n -1,

можно получить

(u - an-1 xn

a0 Xl),

dt a0

y = b0 xm+1 + b1 xm + ... + bmx1.

Сопров. часть ДУ

Строка коэфф.

Многовходовая ММ с произвольным порядком числителя. Даваемый ниже способ интересен тем, что позволяет преобразовывать при некоторых дополнениях и уравнения с переменными коэффициентами, как это будет показано далее.

Приведем уравнение к виду

(pn + an-1 pn-1 +... + a0) y = (Pnpn + bn-1 pn-1 +... + b>) • u .(ОУ ДС)

Переменные состояния будем искать в форме:

y = x1 + k0 • u;(УН)

xi = xi+1 + ki • u, i = 1,2,..., n -1Ур-я связи ПС

xn = -an-1 xn - an-2xn-1 -... - a0x1 + knu.}Строка коэфф.

Матрица A здесь также сопровождающая типа (ССМ). Неизвестные коэффициенты kt находятся путем следующих преобразований: