Связь МВ и «вход-выходной» форм представления ММ. Понятие и способы построения передаточных матриц, алгоритм Леверье-Фадеева. Алгоритмы построения МВ ММ по ПФ ДС.

3. ВЗАИМОСВЯЗЬ МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ

и вход-выходных ММ ДС

3.1. Матричная передаточная функция (передаточная матрица)

Выходную векторную переменную У в уравнениях (МВ ММа) можно выразить через входную переменную U, воспользовавшись преобразованиями Лапласа: Y(s) = C(a - sIn)~l BU(s). Тогда матрица ЖМ (s)

ЖМ (s) = C (A - s In)-1 B(ПМ ДС-п)

будет представлять собой передаточную матрицу системы. Преобразование возможно и единственно, если матрица A - sIn неособая. Элементы матрицы

ЖМ (s) представляют собой передаточные функции Wij (s) от входа Uj к выходу yj. Матрицу Wjyi (s) называют еще матричной передаточной функцией (МПФ) многомерной системы.

Если система имеет только один вход u(t) и только один выход y(t), то матрицы B и C в уравнениях (ПМ ДС) превращаются в столбец и строку соответственно, которые обозначим через b и c соответственно.

Поэтому для одномерной системы (ПМ ДС) принимает вид

»м(s) = Ut\ = с(s1 - А) b.(ПМ ДС-1)

Из формул (ПМ ДС-n), (ПМ ДС-1) видно, что для определения передаточной функции системы по уравнениям состояния (МВ ММ) требуется обращение характеристической матрицы (s • I - A). В случае высокой размерности матрицы A это может представлять определенные трудности.

Один из способов решения сформулированной задачи основан на так называемом алгоритме Леверье-Фадеева.

(s • I - A)-1 = H 1(s) • R(s),

H (s) = sn + an-1 sn 1 +... + a1 s + a0; R( s) = sn-11 + sn-2 R1 + ... + Rn-1.

Тогда at и Rt можно вычислить по следующим рекуррентным формулам:

A1 = A -» an-1 = -spur A1 -» R1 = A1 + an-1 • I;

A2 = A R1 an-2 =- spur A2 ~> R2 = A2 + an-2 1;

An-1 = A Rn-2 a1

spur An-1 ~> Rn-1 = An-1 + a1 1;

An = A Rn-1 ~> a0 =--spurAn ~> Rn = 0.

Таким образом,

Wm (s) = EC • Ri • B • sn-1-i. H (s) ,-=0

Пример. Рассмотрим ЛДС, описываемую векторным уравнением:

0 -1 0 x = -1 - 2 - 2

\4 2 1 3

u; y

[1 2 1-] 3 1 2

R2 = A2 + (-1)

010 001

= a1 = -1 =

0 0 2 - 2 0 0 2 -1 -1

A3 = AR2

= -2 = R3 = A3 - 2 I = 0

Следовательно,

s3 + 2s2 - s - 2

[C I B s 2 + C R1 B s + C R2 B

1 0 0 4 2

s+

\\ 8 9 2 [-1 - 3

s3 - 2s2 - s - 2

17 11

s 2

s+