(2)(pox, d, s) - (pox, sxf),

(3)(pox, 0, S) - (Plx,s),

(4)(pix,s,s) - (pix, Л),

(5)(p1x, 0, Z0x) - (/xi Z0x)>

(6)(pix, 0, S) - (p4x, s),

(7)(pix, Г, S) - (p2x, S), Г = S,

(8)(p2x, Г, S) - (p2x, S),

(9)(p2x, 0, S) - (p4x, S),

(10)(pix, Г, Zox) - (p3x, Zox),

(11)(p3x, Г, Zox) - (p3x, Zox),

(12)(p3x, 0,Zox) - (/x,Zox),

(13)(p4x, Л, S) - (p4x, Л),

(14)(p4x, Л, Zox) - (/x, Zox).

Автомат Mx допускает язык L, "выделяя"цепочки множества Lx среди остальных цепочек языка L. В самом деле, команды серий (1)-(5) допускают цепочки множества Lx: (1) и (2) накапливают в магазине цепочку xR ... xR, (3) переводят автомат в состояние pix сопоставления входной цепочки с содержимым магазина, (4) прочитывают xil . ..xip, команда (5) переводит автомат в заключительное состояние, в котором данный автомат не может применить какуюлибо команду. Команды (6) позволяют "не дочитать"последовательность xil... xip, следующую за префиксом cip... cil0 входной цепочки. Команды серий (7), (8), (9) обеспечивают распознавание цепочек вида cip... cil0usv0, где s G (a, b}, u является, а us не является собственным префиксом цепочки xil . ..xip. Команды серий (10), (11), (12) обеспечивают распознавание цепочек вида cip ...cil0xil . ..xipv0, где v G (a,b}+. Команды серии (13) вместе с командой (14) стирают в магазине не использо ванный (в случае применения команд (6) или (7)) суффикс цепочки xil ...xip. Только последние стирающие команды не читают из входной цепочки, так что детерминированный магазинный автомат Mx удовлетворяет определению автомата, наполняющего магазин в реальное время.

Аналогично определим детерминированный магазинный автомат

который допускает язык L, выделяя цепочки множества Ly среди остальных его цепочек. Таким образом, детерминированные магазинные автоматы Mx и My эквивалентны и допускают регулярный язык.

Лемма 2. Граф Team(Mx, My) имеет ребро

(15) ((pix,-ox "x (piy, Z0y) "Л (/y, Zoy))

тогда и только тогда, когда рассматриваемый случай проблемы соответствия По -ста имеет решение.

Доказательство. Пусть

7Tw = (piw, Zow, Zow) для W G (x,y}.

Тогда ребро т = (nx,ny) и есть ребро (15). Пусть граф Team(Mx, My) имеет ребро (15). Из построения автомата Mx следует, что дуга nx является дугой успешного

маршрута автомата Mx тогда и только тогда, когда пометка этого маршрута имеет вид cip... cil0xil... xip0 для некоторого p > 1. Аналогично, дуга ny является дугой успешного маршрута автомата My тогда и только тогда, когда пометка этого маршрута имеет вид cjt... Cj10yj1... yjt0 для некоторого t > 1.

Ребро т, по определению графа сопряжений, входит в некоторый путь графа Team(Mx, My), являющийся для некоторых успешных маршрутов Tx и Ty (Tx,Ty)-сопряжением.

Согласно определению сопряжения имеем равенство co(Tx) = co(Ty). Это равенство означает, что верно равенство

cip . . . cii 0xii . . . xip0 cjt . . . cji 0yji . . . yjt0.

Но последнее равенство возможно в том и только в том случае, если наборы ix,...,ip и j!,...,jt совпадают и xix... xjip = yji1... yip. Отсюда видим, что данный случай проблемы соответствия Поста имеет решение.

Пусть теперь данный случай проблемы соответствия Поста имеет решение, т.е. существуют p > 1 и набор (ii,...,ip), такие, что xil ...xip = yil ...yip. Обозначим через z цепочку cip... cil0xil.. .xip0. Тогда z G Lx П Ly. Следовательно, для w G {x, y} существует успешный маршрут Tw автомата Mw, где u(Tx) = u(Ty) = z. Из построения автоматов Mx и My следует, что для w G {x, y} маршрут Tw закан -чивается дугой nw. Из определения сопряжения следует, что (Tx,Ty)сопряжение заканчивается ребром т. Так как граф Team(Mx, My) содержит все ребра сопря -жений, он содержит и ребро т □

Отметим, что Mx и My относятся к магазинным автоматам с одним поворо том. Их записи в магазин предшествуют прочтению первого вхождения нуля во входную цепочку; затем возможны только стирания.

Теорема 3. Проблема построения графа сопряжений алгоритмически неразре -шима в классе детерминированных магазинных автоматов с одним поворотом, наполняющих магазин в реальное время.

Доказательство. Достаточно убедиться в несуществовании алгоритма, ко -торый строит для произвольного случая проблемы соответствия Поста граф Team(Mx,My). Предположим, что такой алгоритм существует. Тогда из леммы следует такой алгоритм решения проблемы соответствия: построить Team(Mx,My); если Team(Mx,My) имеет ребро (15), то решающая последова -тельность существует, иначе не существует. Однако, проблема соответстия Поста алгоритмически неразрешима. Следовательно, наше предположение неверно □

2.2. Неясные места одной работы о проблеме эквивалентности ДМАРВ.

Рассмотрим ДМАРВ

Nx = (Kx, S, Tx, Z0x, Sx, p0x, Fx),

Kx = {p0x,Plx,P2x, fx}, Tx = {Z0x, a, b}b Fx = {fx, gx},

5x образовано командами десяти серий, в которых i = 1,... ,n, r,s G {a, b}:

(16) (pox, ci, Zox) (P0x, Zoxxf),

(17)(pox,Ci,s) - (pox,sxf),

(18)(px, 0, s) - (pix,s),

(19)(pix, s, s) - (pix, Л),

(20)(pix, 0, Zox) - (fx, Zox), (pix, 0,s) - (gx,s),

(22)(pix, r, s) - (p2x, sr), r = s,

(23)(p2x, Г, s) - (p2x, sr),

(24)(p2x, 0,s) - (gx,s),

(25)(pix, r, Zox) - (p2x, Zoxr).

Автомат Nx эквивалентен автомату Mx предыдущего раздела и получен из Mx, в частности, отбрасыванием команд, стирающих в магазине при обработке входных цепочек из L - Lx.

Заметим, что вычисления автомата Nx над цепочками из Lx не используют команд вида (21)-(25). Цепочки из Lx и только они приводят автомат Nx в состояние fx.

Аналогично определим ДМАРВ

где множество 5y разбивается на подмножества, аналогичные подмножествам (16)-(25) и далее упоминаемые под теми же номерами.

Если случай проблемы соответствия Поста, определяющий автоматы Nx и Ny, имеет решението, согласно теореме 2 работы [Романовский 86], су-

ществуют такие натуральное число t и функция замещения [Романовский 86] pt, что гнездовой стековый автомат

A = Apt (Nx, Ny) = (Q, £, Г, 5, qo, Zo, F, =, h, )

успешно имитирует вычисления автоматов Nx и Ny над цепочкой

(26)Cip... 0xi!... 0 G Lx П Ly.

Согласно замечанию выше эта имитация не может использовать переходов типов (см. стр. 21 в [Романовский 86]) (2)-(4) и (32), построенных с использованием наших команд типов (21)-(25). Заметим также, что A окончит данную имитацию в состоянии

(fx,fy ,7 )

для некоторой 7 G Г*.

Рассмотрим гнездовой стековый автомат

B = (Q, £, Г, 5Б, qo, Zo, Q П {(fx, fy, 7)7 G Г*}, =, h, ),

который отличается от A множеством заключительных состояний и в котором 5B по сравнению с 5 не содержит множества переходов типа (номера типов см. в [Романовский 86]) (2)-(4), (32), построенных с использованием хотя бы одной команды типов (21)-(25).

Из построения гнездового стекового автомата B вытекает

Теорема 4. B допускает непустой язык тогда и только тогда, когда рассматриваемый случай проблемы соответствия Поста имеет решение □

Так как проблема пустоты алгоритмически разрешима в классе гнездовых стековых автоматов, теорема 4 свидетельствует об ошибочности представленного в работе [Романовский 86] алгоритма проверки эквивалентности ДМАРВ.