Заметим, что атом является элементарной схемой, не содержащей вставок.

Определим на множестве маршрутов DFрафа D бинарное отношение tn непосредственного развития следующим образом.

(T1T3T5,т1т2ТзТ4Тъ) e tn

с историей развития

(ТЪ Т2> Т3,Т4, Т5)

тогда и только тогда, когда Т2Т3Т4 есть формант с атомом Т3. Отношение tn назовем отношением развития.

Из определений можно вывести следующее утверждение.

Лемма 23. Пусть Т - маршрут DFрафа D. Тогда существуют такие число k и последовательность маршрутов Т0,...,Т, что Т0 не содержит вставок, Tk = Т и для 0 < i < k справедливы соотношения pair(T) = pair(T), рь(Т) = /i(T), (Т,Тг+1) etn □

Заметим, что обсуждаемая в лемме 23 последовательность определена неоднозначно. Любую из таких последовательностей будем называть родословной маршрута Т (с предком Т0). Ясно, что

Т0 e Lines(V ,Ьед(Т), end(T ),/(Т)).

Любое множество Lines(V,P,Q,w), где P и Q - вершины, w - заряд, вполне аналогично множеству Frame(M), определенному в [Вылиток 98] для магазинного автомата M. Действительно, множество Lines(V,P,Q,w) есть множество "простейших" предков маршрутов из Computations(V,P,Q,w).

Теорема 2 из [Вылиток 98] представляет собой частный случай следующей теоремы, вытекающей непосредственно из определения родословной.

Теорема 10. Пусть Т e Computations(V, P, Q, w). Тогда существуют такие целое k > 0 и маршрут Т e Lines(V, P, Q, w), что (Г, T) e tD □

Схемы и их подмножества, именно линии и элементарные схемы, играют важную роль в рассматриваемом алгоритме построения КСвыражения по DFрафу. Эффективность построения схем влияет решающим, пожалуй, образом на эффективность всего алгоритма.

3.2.4. Некоторые наблюдения об устройстве схем

3.2.4.1. О повторяемости в схемах. Графы, подчиненные DFрафу, естественно определять как части его итерантов, позволяющие строить маршруты, которые не используют некоторой пары дуг итерантов. (Заметим, что запрещение исполь зовать некоторую пару из Dмножества не всегда сопряжено с изъятием из графа дуг этой пары: ведь они могут участвовать в других парах данного Dмножества.)

Законно предположить, что выделение подграфов может быть более или менее удачным и что удача зависит от выбора исключаемой пары. В связи с этим важно знать характер повторяемости в схемах одной и той же пары дуг итерантов.

Возможны следующие два взаимоисключающих случая:

1)класс сцепленности содержит только один итерант;

2)класс содержит больше одного итеранта.

В первом случае все относящиеся к итеранту пары дуг образуют гнезда в некоторых циклах и в этом смысле равноправны.

Во втором случае относящиеся к итерантам класса пары дуг можно разделить на два сорта:

1)участвующие в маршрутах только некоторого одного итеранта (таким образом, обе дуги пары являются дугами этого итеранта);

2)образованные дугами двух различных итерантов. Для класса неединичной мощности пары первого из сортов могут отсутствовать, но пары второго обяза тельны (иначе итеранты класса не были бы сцеплены).

Рассмотрим несколько примеров Dграфов и их схем.

Пример 12. Dграфы

с Эмножествами

{(1, 4), (2, 3), (5, 6), (7, 8)}

{(1, 3), (6, 2), (6, 3), (4, 5), (7, 8)}

соответственно имеют по одному итеранту. Первый граф определяет среди прочих схемы 235236 и 1234712348, второй - 134562 (это предложение), 3456 и 4578 (это Rвставки, ненейтральная и нейтральная соответственно.)

Любопытная особенность данного примера - неоднократное использование некоторых пар дуг не только в различных схемах, но и в одной и той же схеме.

Пример 13. Эграф

-о-- о-о- о- о-о-о- о- о-

с Эмножеством

{(1,14), (2, 7), (3,4), (5, 6), (8,13), (9,10), (11,12)}

определяет как Rвставки, так и Бвставки. Так, (5,6,9,10) - нейтральная R-вставка, а (2,3,4,5,6,7) и (8,5,6,11,12,13) - нейтральные Бвставки.

Сильно связные компоненты данного Эграфа являются его итерантами. Все они сцеплены. Пара (5,6) используется в каждой вставке, хотя относится к одному итеранту.

Далее будем обозначать через P(C) множество всех пар из P, которые участвуют во вставках, концы которых являются вершинами итерантов данного класса.

Заметим, что в случае C > 1 среди дуг, которые входят в эти пары, могут быть линейные. Такова дуга 6 в примере 4.2.