Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[50]

При следующем приближении вычисляется Y = F(x), YA = F(A) и полагается A=X, если знак функции на половине отрезка [A, x] не меняется, иначе B=x. Далее корень ищется на том отрезке, где функция меняет знак. Процесс прекращается при достижении требуемой точности.

Если на исследуемом интервале [A1, B1] функция имеет несколько корней x1[1. . m], то для их нахождения можно разбить этот интервал на "N" малых интервалов и выбрать из них те, где функция меняет знак. Здесь полагается, что на каждом малом интервале функция имеет не более одного корня. Затем следует на каждом выбранном малом интервале применить метод дихотомии или секущих:

dx:= (b1-a1)/N;{ длина отрезков }

m:= 0{ счетчик корней }

for k:= 1 to N do begin

a:= a1+(k-1)*dx; b:= a+dx; if SGN(F(a))* SGN(F(b) <= 0 then begin m:= m+1; REPEAT << метод дихотомии >>

UNTIL (ABS(b-a)< E) OR (ABS(F(x)) < E1);

x1[m]:= x;{ корень номер m }

Практическое задание N 2. 28

1. Рассчитать методом дихотомии, либо секущих корней уравнения F(x) = 0. Определить количество итераций, для расчета корня с погрешностью < 0. 0001.

Вид функции F(x)

интервал изменения аргумента "x"

один корень

несколько корней

x3 - 4*x2 - x + 1

0 ... 1

-2 ... 6

2*x3 - 6*x2 - x - 1

-1 ... 0

-1 ... 4

x - 2 + 4 *SIN(x)

0 ... 1

0 ... 7

x2 - LN(1+x) - 3

-0.9 ... 1

-0.9 ... 3

В общем случае уравнение F(x) = 0 решается итерационными методами.

Метод итераций (повторений) основан на расчете значения переменной по рекуррентным формулам. Общая итерационная формула имеет вид:

xi = Fi (xi-1); где i = 1, 2, . . . , m;x0 - начальное приближение.

Для сходимости итерационной схемы должно выполняться условие: dFi(x)/dx< 1; В случае линейной итерационной схемы xi = xi-1 - Ki-1*F(xi-1);

Коэффициент Ki-1 зависит от выбранной схемы и может существенно повлиять на количество итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью.

Получим итерационную формулу для расчета корня из числа "a", т. е. x= Va;


(x- Va)2 = x2 - 2*x* Va + a =0; откуда Va = (x + a/x)/2; где a > 0. полагая Va = x; и x = x1-i; получаем: = (x1-i + a/x1-i)/2;

В более общем виде для x = Va;x± = ((n-1)*xi-:L + a/(xi-:L)(n-1))/n;

Практическое задание N 2. 29

Составить функцию

1 1. Итерационного расчета корня n-ой степени из положительного числа "a". 1 2. Итерационного расчета корня уравнения: x= Ln(A+x); при x>0; A>1; 1 3. Итерационного расчета корня уравнения: x= Arctg(x); при x<>0;

2. 5. 2. Аппроксимация по методу наименьших квадратов

Пусть для некоторых значений аргумента "х*" известны значения "yi". Функция "Y", значения которой Y(x*) можно использовать вместо "у*", называется аппроксимирующей функцией. Как правило, аппроксимация применяется для получения функциональной зависимости, описывающей экспериментально полученные значения "у*" при различных "хД

Рассмотрим разработанный Гауссом метод наименьших квадратов, при котором получается наилучшее приближение функции Y(x*) к значениям у*.

Метод заключается в аппроксимации "N" значений "у*" полиномом степени "m": Y(x) = A0 + A1 * x + A2 * x2 + . . . + Am * xm для которого сумма квадратов отклонений = Y(x*)-y* минимальна. Коэффициенты A0, A1, A2, . . . , Am находятся при решении системы уравнений: <3S/dAo=0; <3S/dAi=0; <3S/dA2=0; . . . <3S/dAm=0; где S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2;

В случае аппроксимации линейной функцией Y(x)= A0 + A1*x; для определения коэффициентов A0 и A1 необходимо решить систему двух уравнений:

N*Ao + [X]*Ai = [Y];[X]*Ao + [X2]*Ai = [XY];

где [X]= x1 + x2 + x3 + ... + xN; [X2]= x12 + x22 + x32 + ... + xN2; [Y]= У1 + Y2 + Уз + ... + Yn; [XY]= x1*y1+ x2*y2+ x3*y3+...+ xN*yN;

Решая систему, получаем:

Ao = ([XY]*[X]-[Y]*[X2])/([X]*[X] - N *[X2]); A1 = ([X] *[Y]-[XY]*N) /([X]*[X] - N *[X2]);


1. Составить процедуру линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов массива значений, полученных экспериментально в шести сериях по 10 замеров согласно зависимости:

1. 1. yi= A + B*xi + 0. 5-Random; где A=10; B=3; C=2; xi=8*i; 1. 2. yi= A + sin(xi)*Random; где A=15; xi=i;где i=1, 2, . . . , 6.

Нарисовать график функции Y(x) = A0 + A1*x; и экспериментальные точки yi.

2. 5. 3. Численный расчет интегралов

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно "теореме о среднем" определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "xi" этого отрезка:

S = j f(x)*dx =(b-a)*f(xi); a <= xi <= b,

a xi b

где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл равен площади прямоугольника

длиной "b-a" и высотой "f(xi)". Здесь значение xi, а значит и f(xi) если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков "dxi", функции f(xi) можно принять постоянным, то

с основанием неизвестно. Однако, в которых значение

S = j f(x)*dx = f(x1)*dx1 + f(x2)*dx2 + f(x3)*dx3 +

+ f(xN)*dxN;

где dx1 + dx2 + dx3 + . . . + dxN = b - a;

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "ДхУзадана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53]