72*a 0 0ax0a*(efc + e fc) a*t

80 b a0-x-ya* sin(t)b*cos(t)

Рассмотрим задачу расчета траектории снаряда, движущегося с начальной скоростью "Vo" под углом "fi" к горизонту с учетом сил сопротивления воздуха, пропорциональных скорости снаряда. Проекции ускорений определим в виде функций:

FUNCTION Fx(Vx, kc: real): real; begin Fx:= - kc*Vxend;

FUNCTION Fy(Vy, kc: real): real; begin Fy:= - kc*Vy - g end;

Где kc - коэффициент сопротивления воздуха,

g = 9. 81, м/с - ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Поскольку время подлета снаряда к цели неизвестно, то параметр "dt" выбирается приближенно, например, исходя из максимального времени полета снаряда над горизонтальной поверхностью без учета сопротивления воздуха: tMax= 2*V*sin(fi)/g. Для N = 500, dt = t/500. При решении конкретных задач процесс расчета прекращается при достижении снарядом цели, либо при ограничениях по статическим координатам, например: i:= 1;

REPEAT i:=i+1;

{операторы расчета массивов скорости, ускорения и координат точки } Until ( cc = GetPixel G(X[i], Y[i])) or ( Y[i] < 0 ) or ( i = N );

Здесь cc - цвет пикселов цели, Y[i] < 0 - ограничение по горизонтальной поверхности, i = N - ограничение по размеру массива. В случае преждевременного завершения полета снаряда необходимо увеличить dt или параметр N.

Практическое задание N 2. 23

1.Рассчитать разностным моделированием и по аналитической зависимости траектории полета снаряда без учета сопротивления воздуха. Построить траектории полета снаряда. Начальная скорость V0=1000, м/с, угол fi=450. Аналитическая зависимость имеет вид:

X = V0*t*cos(fi); Y = V0*t*sin(fi) - g*t2/2;

2.Рассчитать разностным моделированием и по аналитической зависимости траектории полета снаряда с учетом сопротивления воздуха, пропорциональным скорости снаряда. Построить траектории полета снаряда. Начальная скорость V0=3000, м/с, угол fi = 450. Коэффициент сопротивления воздуха kc = 0. 01,с-1.

Аналитическая зависимость имеет вид:

X=V0*cos(fi) * (1-e(-kc*t) )/kc; Y=(V0*sin(fi)+g/kc) *(1-e(-kc*t) )/kc-g*t/kc;

3.Рассчитать разностным моделированием траектории полета снаряда с учетом сопротивления воздуха, пропорциональным квадрату скорости снаряда. Коэффициент сопротивления воздуха kc1 = kc2 . Построить совместно траектории полета снаряда для п. 1, 2, 3. Начальная скорость V0 = 3000, м/с, угол fi = 450.

4. Составить программу поражения неподвижной цели при kc1 = kc2. Изменяя в цикле угол fi на небольшую величину, определить в программе угол при котором будет поражена цель - небольшой прямоугольник с координатами вершин (x1, y1) и (x2, y2). Построить все траектории полета снаряда.

Примечание к п. 1. . 4: Выводить на экран исходные данные: V0, fi, kc, а также наибольшую высоту и дальность полета снаряда.

Рассмотрим задачу расчета траектории космического тела, в поле тяготения планеты без учета сил сопротивления. В начальный момент времени тело движется на высоте "Н" со скоростью "V0", направленной по касательной к окружности радиуса R0. Поскольку движение спутника вокруг планеты достаточно продолжительно, то не целесообразно запоминать в оперативной памяти все параметры (координаты, скорости и ускорения) в каждый момент времени. Обычно эти параметры, записываются в файл на диск при вычислениях через некоторые моменты времени, а траекторию строят сразу, либо запуская отдельную программу, считывающую данные из файла. Расчетная область задается исходя из оценочных расчетов. Для спутника, движущегося вокруг Земли, можно принять:

Xmin= Ymin= -Kv*R0,Xmax= Ymax= Kv*R0,

Здесь R0 = (Rz+H), Rz=6. 37*106, м. - радиус Земли. Kv=1. 5 при V0 <= W1; Kv=10 при W1 < V0 < W2; Kv=20 при V >= V2.

W1 = Rz*V(g/R0) - первая космическая скорость, W2 = V2* W1 - вторая космическая скорость.

Параметр "dt" можно определить приближенно по формуле: dt=T/N, где T= 6. 28*Rz/W1 - время оборота спутника вокруг Земли, N=300.

Расстояние от спутника до центра планеты определяется через координаты: function R(x, y: double): double; begin R:= sqrt(x*x + y*y) end;

Проекции ускорений определим в виде функции:

function FA(x,r,kz: double):double; begin FA:= -kz*x/(r*r*r) end;

Здесь kz = 4. E+14 для Земли (в системе СИ).

Пусть в начальный момент времени известны координаты спутника:

x1 = R0; y1 = 0; r1 = R(x1, y1); скорость: Vx1 = 0; Vy1 = V0; и ускорение: Ax1 = FA(X1, r1, kz); Ay1 = FA(Y1, r1, kz);

Отметим, что скорость в начальный момент времени направлена по касательной к окружности радиуса r1.

Для записи алгоритма расчета траектории необходимо знание параметров в двух соседних точках, например, в точке "1" - для предшествующего момента времени и в точке "2" -для расчетного момента времени. Расчет производим в цикле с одновременным выводом

траектории движения спутника на экран до тех пор пока выполняется ограничение по радиусу траектории или не нажата любая клавиша.

While ( r1< Xmax ) or ( r1> Rz ) or ( not keyPressed ) do begin Vx2:= Vx1 + Ax1*dt; Vy2:= Vy1 + Ay1*dt; X2:= X1 + 0.5*(Vx1 + Vx2)*dt;

Y2:= Y1 + 0.5*(Vy1 + Vy2)*dt; r2:= R(x2, y2);

Ax2:=FA(X2, r2, kz); Ay2:=FA(Y2, r2, kz);

Vx2:= Vx1 + 0.5*(Ax1 + Ax2)*dt;{ уточняем скорость }

Vy2:= Vy1 + 0.5*(Ay1 + Ay2)*dt;

{ Переопределяем значения параметров в точке }

x1:= x2; y1:= y2; r1:= r2; Vx1:= Vx2; Vy1:= Vy2; Ax1:= Ax2; Ay1:= Ay2

PutPixel G (x1 ,y1 ,c); { Строим траекторию движения точки, c - цвет точки } end;

Практическое задание N 2. 24

1.Рассчитать разностным моделированием и по аналитической зависимости траектории полета спутника Земли. Аналитическая зависимость имеет вид:

r = P/(1 + e*cos(fi)); где e = P/R0 - 1;P = (V0* R0/Rz)2/g ; 0 <= fi = 2*Pi.

В начальный момент времени известны координаты спутника: x1 = R0; y1 = 0; и скорость: Vx1 = 0; Vy1 = V0; Рассмотреть случаи:

Начальная скорость V0 <= W1, высота H = 300000, м. 1 2. Начальная скорость W1 <= V0 < W2, высота H = 400000, м. 1 2. Начальная скорость V0 >= W2, высота H = 500000, м.

Примечание: Построить траектории полета спутника. Через равные промежутки времени выводить на экран время полета спутника, скорость и высоту.

2.Рассчитать разностным моделированием и построить траектории полета спутника вокруг двух планет (типа "Земля"), при V0 < W2, в случаях:

1) V0 f Rz Rz 2)Rz V0 f 1

4-►о*-к)о*---

3. Рассчитать разностным моделированием и построить траектории полета двух планет типа "Земля" и их центра масс, при V0 < W2, в случаях: