2. Метод узловых напряжений

2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В соответствии с методом определяются напряжения q - 1 узла электрической

цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются узловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимаются от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых напряжений равно числу независимых узлов q -1 .

Напряжение на любой ветви равно разности узловых напряжений. Ток I g

любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа для контура: ветвь- напряжения узлов ветви относительно базисного (рис. 2.1). Так для фрагмента цепи со схемой рис. 2.1 уравнение второго закона Кирхгофа имеет вид

IgR + Uk0 - Um0 -

Рис. 2.1

Eg - Uk о + U

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид:

G11 U10- G12 U20- G13 U30 -

-G21 U10 + G22 U20- G23 U30 -

-G31 U10- G32 U20+ G33 U30 -

J11 ; J33 •

Здесь G11; G22; G3 собственные проводимости ветвей узлов 1, 2, 3, соответст-

венно; G12

G13 - G31 - общие проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам. J11 ;

J22; J33- узловые токи.

Способ определения этих величин поясняет фрагмент схемы цепи с тремя независимыми узлами (рис. 2.2).

Собственная проводимость ветвей узла 2:

g22=-+-+-+-

R1 R2 R3 R4

определяется как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 2. Общие проводимости:

- + - R3 R4

; G13 = G31 =0

определяются как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих соответственно узлам 1 -2, 2-3 и 1 -3 одновременно.

Вклад в узловые токи дают ветвями, содержащие источники. Узловой ток равен алгебраической сумме токов эквивалентных генераторов тока. Для узла 2 (рис. 2.1) имеем

EE J22 = - -- + Jg - J2.

Источник, стрелка которого направлена к узлу, в уравнение входит со знаком плюс, из узла со знаком минус.

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1

Записать узловые уравнения для цепи со схемой рис. 2.3.

Рис. 2.3

Решение

В схеме рис. 2.3 четыре узла (q = 4). Число узловых уравнений n = q - 1 = 3. Выбираем в качестве базисного узел 0. Уравнения имею вид:

G11 U10-G12 U20-G13 U30 = J11 ;

12 20

13 30

G21 U10 + G22 U20 G23 U30 = J22 ; - G31 U10- G32 U20 + G33 U30 = J33 •

Собственные проводимости узлов 1, 2 и 3:

R1 R21 + R22

+-i-; G

1 1 1

R1 R3

R3 R21 + R22 R6

Общие проводимости:

Узловые токи:

J11 - J4; J22 =

E3 E6

R3 R6

R21 + R22

Задача 2.2

Рассчитать токи ветвей в электрической цепи по схеме рис. 2.4. Параметры резисторов: R1 = 200 Ом; R2 = 100 Ом; R3 = 125 Ом; R4 = R3. Источники: E = 15 B, J = 0,5 Л. Решение проверить балансом мощностей.

Решение

Определяем положительные направления токов ветвей как на рис. 2.4. В схеме0 цепи три независимых узла. Приняв в Рис. 2.4 качестве базисного узел 0, принадлежащий ветви с идеальным источником, получаем

U 30 = E = 15 В. Узловые уравнения для узлов 1 и 2 имеют вид:

G11U10 - G12U20 - G13U30 = J11 ; G21U10 + G22U20 - G23U30 = J22 .

Собственные проводимости:

0,015 1/Ом; G22

R1 R2

1 + - + - = 0,026 1/ Ом.

Общие проводимости:

G12 = G21 = -J- = 0,01 1/ Ом; G13 R

- = 5 • 10-31/ Ом;

G23 = - = 8 • 10-31/ Ом.

Узловые токи:

J11 = J = 0,5 А; J22 = 0.