3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом

3.1. Общие сведения

Переход от вещественных синусоидальных функций времени токов и напряжений к их изображению в комплексной форме записи позволяет распространить методы расчета разветвленных цепей постоянного тока на расчет разветвленных цепей синусоидального тока.

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид

Y11 U10-Y12 U20-Y13 U30 = J11; - Y21 U10 + Y22 U20- Y23 U30 = J22 ; -Y3i Uw-Y 32 U+ Y33 U30 = J33,

где Y11; Y22; Y33- собственные комплексные проводимости ветвей, принадлежащих узлам, Y12 = Y 21; Y 23 = Y 32; Y13 =Y 31 - общие комплексные проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам, J 11; J22; J33-узловые токи.

Каноническая форма уравнений метода контурных токов для случая трех независимых контуров имеет вид

Z11Z12 &2-Z13 133 = E11;

Z21 1 11 + Z22 122 + Z23 33 = E22 ; Z31 1 11 + Z32 22 + Z33 1 33 = E33

где Z11; Z22; Z33- собственные комплексные сопротивления контуров, Z12 = Z21; Z23 = Z32 ; Z13 = Z31 - общие комплексные сопротивления ветвей одновременно принадлежащих двум контурам, E11; E22; E33- собственные э. д. с. контуров.

Правила получение узловых и контурных уравнения остаются такими, как в цепях постоянного тока.

Схема и граф обобщенной ветви цепи синусоидального тока показаны на рис. 3.1. Уравнения Кирхгофа в матричной форме для электрической цепи со схемой, имеющей b обобщенных ветвей и q узлов, имеют вид

AI = 0; BU = 0.

Матрицы соединений (инциденций) А и главных контуров В составляются по тем же правилам, что в цепи постоянного тока.

Матрицы э. д. с. ветвей Eb, токов источников тока J b формируются по

тем же правилам, что для цепи постоянного тока. Коэффициенты в этих матрицах- комплексные действующие значения. Коэффициенты в матрицах сопротивлений - комплексные сопротивления Zb, в матрицах проводимостей -Рис. 3.1комплексные проводимости Yb ветвей.

Матрицы приобретают вид Z b и Yb.

Матричное уравнение метода узловых напряжений для цепи синусоидального тока имеет вид

A Y b AT U n 0 =- A Y b Eb + A J b.

Обозначив через Ynn = Ab YbAT квадратную матрицу комплексных узловых проводимостей, через Jnn = - A YbEb + A Jb столбцевую матрицу комплексных действующих значений узловых токов, получим узловые уравнения в матричной форме

YU = J

Решение этого уравнения

U = Y 1 T

V n 0 J-nn °nn

определяет матрицу комплексных действующих значений узловых напряжений. Далее рассчитываются напряжения

U = ATU

Ib = YbUb, I = Ib - J.

Матричное контурное уравнение для цепи синусоидального тока имеет вид

B Z b B T I nn =B Z b J b + B Eb.

Обозначив через Znn = B ZbBT квадратную матрицу комплексных контурных сопротивлений, через E nn = -B Z b J b + B Eb матрицу комплексов действующих значений э. д. с. контуров, получим контурное уравнение в матричной форме

Решение этого уравнения

I = Z E

nn -nnnn

определяет матрицу комплексных контурных токов. Далее рассчитываются токи ветвей:

I = BTIпп; I ь = I + J

и напряжения:

и ь = Z i ь; и = и b - IE.

3. 2. Решение типовых задач

Задача. 3.1

На рис. 3.1 показан фрагмент цепи синусоидального тока. Найти действующее значение напряжения U, ес-

ли E = 220 В; I=15 в*6 А; Z = 4 + j 2 Ом.

Решение

Назначаем положительные направления тока I и напряжения U.

Рис. 3.1

Уравнение второго закона Кирхгофа для принятого на рис. 3.1 направления обхода контура имеет вид

U - I Z = - E. Откуда

U = I Z - E = 15 в 3 6 - 220 = - 267,6 - j 47,2 В. Действующее значение напряжения равно:

271,8 В.

Задача. 3.2

На рис. 3.2 показан фрагмент цепи синусоидального тока.

Найти ток I, если U = 380 В; E = 220 ej120° В; J = - j 20 А; Z = 5 - j 2 Ом.

Решение. Назначаем положительные направления токов ветвей и напряжения U. Уравнения Кирхгофа имеют вид

-1+J+1ь = 0;

U - IbZ = - E. Из второго уравнения находим: