Решение

Раскладываем в ряд Фурье функцию напряжения u(t). Функция u( t) - четная, в разложении будет постоянная составляющая U0 и гармонические составляющие Ck cos kot. Период функции приложенного напряжения Т = 0,01 с. Циклическая частота основной гармоники o = -г = 628 с~ . Следовательно, о = 2o0,

где о0 = 314 с 1. Заданную функцию мощно представить в виде ряда u( t) ф= U0 + C1cos ot + C2cos2ot + C3cos3ot + ... =

= U0 + C1cos2o0t + C2cos4o0t + C3cos6o0t +

Вычисляем коэффициенты ряда. Постоянная составляющая

1 t1 0,01

U0 = - f u(t) dt =- f 10sin314t dt = 6,366 В.

0 TJ0 01 J

Коэффициенты ряда первых трех гармоник:

C = -\ 10sin o0t cos 2o0t d t = -4,244 В,

C2 = - f lOsin o0t cos4o0t d t = -0,849 В,

C3 =- f 10sin o0t cos6o0t d t = -0,364 В.

Ряд Фурье для постоянной составляющей, основной и двух высших гармоник имеет вид

u(t)ф = 6,366 - 4,244 cos2o0t - 0,849 cos 4o0t - 0,364 cos 6o0t В. Расчет для постоянной составляющей U0 = 6,366 В.

110 = U0 = 0,03 А, U230 = 110 • Я2 = 5,922 В. 1 +2

Расчет для гармонических составляющих выполняем символическим методом.

Используем переменные с индексами k = 1, 2, 3.

Комплексная амплитуда гармонической составляющей с индексом k

Комплексные сопротивления участков цепи на частоте kce> = k 2се>0:

Zlk = Ri + Jk®L; Z2k = R2; Zbk = ~-;;

Z23k =-JjC-; Zk = Z1k + Z23k.

R + 1

Комплексные амплитуды тока и напряжения гармоник:

Т1 = mk .

mk ~ 7 ;

U23mk = i&1mkZ23k .

Амплитудные значения и начальные фазы тока и напряжения определяются выражениями:

; W\ = аГ§( J1mk )

U23mk = U23mk ; ij/u23k = arg(U23mk). Действующие значения тока и напряжения:

/1 = I1mk .

k = 42 ;

Мгновенные значения гармонических составляющих тока и напряжения: i11 (t) = I1m1 sin(wt + );

i 12 (t) = I1m2 sin(2«t + \/z"12);

i13(t) = I1m3 sin(3wt + \/fl3);

u 231 (t) = U 23m1 sin(ce>t + yu 231);

u232 (t) = U23m2 sin(2ce>t + уu232);

u233 (t) = U23m3 sin(3ce>t + уu233).

Действующие значения тока и напряжения:

д/U2302 + U232 + U23:; + U232 . Активная мощность Р, потребляемая цепью,

Для численного расчета используем программу Mathcad.

Um:=10 f:=50 o0 := 2.п f o := 2-o0 T := 0.01

R1 = 15 R2

o := 2.o0

U0 : = -

TJ0 U0 =6.366

o = 2. o 0

= 200 L = 0.15 c = 200 106 u(t) = Umsin(o0.t) k:=1,2..3 T

u(t)dt Ck

cos(k. o t)u(t) dt

U230 : = R2I10

I10 =0.03 U230 =5.922

z1k := R1 +j ko L z2k := R2

u23mk := i1mk.z23k

j .k.oc

z%z3k z2k + z3k

<- Задание исходных данных и индексов k.

<- Расчет коэффициентов ряда Фурье.

<- Расчет постоянной составляющей тока и напряжения.

<-Комплексная амплитуда приложенного напряжения гармоники с номером k.

<-Комплексные сопротивления участков цепи для тока гармоники с номером k.

<- Расчет комплексных амплитуд тока и напряжения гармоник с номером k.