2. Решение типовых задач

Задача 4.1

К цепи со схемой рис. 4.5 приложено синусоидальное напряжение с действующим значением U = 100 B. Активное сопротивление R = 100 Ом, на частоте приложенного напряжения реактивные сопротивления XL1 = XL2 = Xc = 100 Ом, Xm = 0,5 XL1.

Найти действующие значения токов ветвей, активную мощность, передаваемую из одной ветви в другую за счет индуктивной связи между ними. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Рис. 4.5

Решение

Принимаем комплекс действующего значения U = 100 В. Для указанных на рис.4.5 направлений токов уравнения Кирхгофа имеют вид:

I = Л + Л;

Z1Д + JXmI 2 = U; jXmK + Z 212 = U,

где Z1 = -jXC + jXL1 = -j100 + j100 = 0; Z2 = R + jXL2 = 100 + j100 Ом; jXm = j50 Ом.

Умножаем второе уравнение на Z2, третье- на - jXM и складываем полученные уравнения. Получаем:

Z2 - jXM 1ЛЛ100 + j100 - j50 л

2 M =100= 4+ j2 А.

L1*±2~\J M)2500

Умножаем второе уравнение на - jXM, третье - на Z1 и складываем. Получаем:

I 1 = U2

Z1 - jx.

Z1Z2 - (jXm )

= - j2 А.

I = 4 + j2 - j2 = 4 А. Действующие значения токов:

= 4,47 А; = 2 А;

I = 4 А.

Для построения векторных диаграмм рассчитаем напряжения на элементах ветвей.

jXL111 + jXMI2;

jXL 212 + jXMI1,

JXLl A = j100(4 + j2) = -200 + j400 В; jXj2 = j50(- j 2) = 100 В; UL1 =-100 + j400 В;

Uc =- jXcIx =-j100(4 + j 2) =

= 200 - j 400 В;

jXL 2 4 =

j100( -j2) = 200 В; /50(4 + j 2) =

= - 100 + j200 В; UL 2 = 100 + j200 В; UR = - j200 В.

Векторные диаграммы токов и напряжений приведены на рис. 4.6.

jXL 21 2

Рис. 4.6

Рассчитываем комплексные мощности первой и второй индуктивностей, обусловленные индуктивной связью между ними. Получаем:

S1M = U1MI1 = jXmKI1 = j50 (- j2)(4 - j2) = 400 - j200 ba;

S 2M = U2MI2 = jXmK I2 = j50(4 + j2) j2 = - 400 - j200 ВА.

Активная мощность в индуктивности L1: Р1М = 400 Вт, Р1М > 0. Мощность отдается в магнитное поле индуктивностью L1 . Активная мощность в индуктивности L2: Р2М = - 400 Вт, Р2М < 0. Эта мощность поступает в L2 из магнитного

поля и численно равна мощности Р1М .

Таким образом, активная мощность источника Рист = UI cos ф = 100-4 = 400 Вт через первую ветвь поступает во вторую и

превращается в тепло в резисторе R .Рис 47

Действительно, мощность, рассеиваемая резистором R

pr = i2r = 400 Вт. На рис. 4.7 показана схема включения ваттметров, для регистрации мощностей р\м и р2м. Следует отметить, что индуктивности L1 и l2 - идеальные элементы. Их активное сопротивление равно нулю.

Задача 4. 2

Найти токи ветвей, напряжение

входное сопротивление в цепи со схемой рис. 4.8. Рассчитать величину активной мощности, передаваемой из ветви с током I1 в ветвь с током I2, магнитным полем. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Ui = 220 B; Ri = 60 Ом; R2 = 40 Ом;

X = 100 Ом; Хг = 80 Ом; kc = 0,6; Z = 40 - 20j Ом.

Рис. 4.8

kCJ X1X2 = 53,67 Ом. Обозначаем:

Решение

Выбираем положительные направления токов и напряжений как на рис. 4.8. Принимаем U1 = 220В. Величина X

Z1 = R1 + jX1 = 60 + 100j Ом;

Z2 = R2 + jX2 = 40 + 80j Ом;

Zm = JXm = j53,67 Ом. Уравнения Кирхгофа имеют вид

11Z1 + I2 ZM

12Z 2 + I1 ZM

Из второго уравнения

I2 = -11ZM IZ 2 .

Из первого уравнения получаем

Z 2 + Z

Комплексные действующие значения токов равны: J1 = 1,33 - 1,32j = 1,88e "449°j А;

J2 = -1 - 0,14 j = 1,01e"1718°j А. Напряжение

U2 = I2Z = -42,76 + 14,16j = 45,05e1617°j В.