Решение

Назначаем направления токов и напряжений u10 ; u20 узлов как на рис. 3.9. Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:

- Л + I2 + I3 + IC = 0;

I-14 -13 - Ic = 0. Выражаем токи ветвей через напряжения u10 и u20:

U10 U20 . & = U10 U20 . & = U20

12 14 = GU1 = g( e - U10), получаем узловые уравнения:

+ - + - +

--1---1--

R2 R3 z

-1 + 4 - g

1 1 1

U 20=i;

В узловых уравнениях для схем цепей с зависимыми источниками в общем случае

Y12 Y21 •

Ток нагрузки равен

I = U 20 .

Комплексные мощности источника 8ист и нагрузок 8пот соответственно равны:

S = EE - U10

с = + U120 + UJ2 + U122 + w 20

Ыпот -"г"г"г"г

U2014 •

R1 R2 R3 ZC Z

где E и I4- сопряженные комплексные значения э. д. с. E и тока I4, U1; U10 ; U12 ; U20 - действующие значения напряжений.

Внимание. При расчете по этим выражением комплексных мощностей знак + перед реактивной мощностью в выражении S = P + jQ соответствует емкостному характеру нагрузки.

Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже. R1 := 160.0 R2 = 2700 R3 = 30000 z := 300 600 <- Исходные данные C = 0.1106 0.001 f := 1000 Е:=2

<- Расчет комплексного сопротивления емкости на частоте f

сс = 2-п f сс =6.283103

Y12 : =

1 1 1

R1 R2 R3 1 1

R3 zC Y11 -Y12\

-Y21 Y22

Y22 : =

Y21 : =

1 1 z R3 zC

R3 zC

J22 := GE Jnn =

Un0:= Ynn Jnn Un0:

\J22, 1.738 -

<- Расчет собственных и общих комплексных проводимостей

<- Расчет матрицы узловых проводимостей

<- Расчет узловых токов

<- Расчет узловых напряжений

\-0.605 + 1.247J

u10 = Un00 u20 = Un01 u20 = -0.605 + 1.247j

-i = 1.25910 3 + 1.638-10 3j

Ifli Im = 2.92210

. 180arg(i)

уi :=- уi

U1 = \E-u10 U10 : = u10 U20 : = u20

U12 : = u10- u20

U12 U102 U122 U202 U122

R1 R2

- E u10

u20G(E- u10)

Sz = 3.28-10 3 +2.68710 3j Se =3.28-Kf3 + 2.6871(f3j

Из расчета следует:

-амплитудное значение тока нагрузки Im

-начальная фаза уi = 52,5 , следовательно, мгновенное значение тока

i (t) = 2,92 sin(G) t + 52,5°) мА. Комплексные мощности:

-8ист = 3,28 • 10-3 + 2,687 • 10-3 j ВА;

-8пот = 3,28 • 10-3 + 2,687 • 10-3 j ВА. Баланс выполняется, 8ист = 8пот .

<- Расчет комплекса действующего значения тока нагрузки

<- Расчет амплитудного значения тока нагрузки <- Расчет начальной фазы тока нагрузки

<- Расчет действующих значений напряжений для баланса мощностей

<- Комплексная мощность нагрузок

<- Комплексная мощность источника 5ист

2,92 мА;

Задача 3. 9

В цепи с операционным усилителем ОУ (схема на рис. 3.10) действующее значение синусоидальной э. д. с. Е = 1 В. Частота f = 1000 Гц. Найти амплитудное значение напряжения £/выхи угол сдвига фаз у между этим напряжением и э. д. с. E .

Параметры элементов ветвей: r1 = 2300 Ом; r2 = r1; r = 5100 Ом; С1 = 0,068 мкФ; С2 = с1. Операционный усилитель - идеальный.

Рис. 3. 10

Решение

Назначаем положительные направления токов ветвей как на рис. 3.10. Пусть E = E = 1 В.

Идеальный ОУ не потребляет ток по входам 1 и 2, поэтому /2 = ic2 Напряжение

u1 = u = вых/ 2.

Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов а и 1 имеют вид:

i1 +12 - id = 0

Выражаем токи ветвей через напряжения ua и u E - U

= U вых - U a ; I

Получаем узловые уравнения:

1 1 1

- + - + -

R1 R2 Z

2r2 z

2r2 2z

Следует обратить внимание, что в узловых уравнениях y12 Ф y21. Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже.