знак к при сравнении по модулю не учитывается, следовательно, симметричность выполняется; - транзитивностью

х~ У\

y~Z

х ~ z, z ег

т

т

т

Поскольку к и /-целые числа, то их сумма тоже целое число, следовательно, транзитивность выполняется.

Итак, отношение сравнения по модулю т является эквивалентным отношением. Это отношение фактически разбивает все множество r+ на числа, имеющие одинаковый остаток С при делении на т:

x = Nm+C, у=Мт + С,

где N, М - целые числа.

При этом выражение для сравнения по модулю т приобретает вид

т

Таким образом, отношение сравнения по модулю т определяет разбиение множества г+ на т классов AhA2, ...,Ат, каждый из которых состоит из чисел, имеющих одинаковый остаток при делении на т.

Например, т=3, имеем Aj={3,6,9...}, А2={1,4,7..,}, А3={2,5,8...}, т.к. 3=6(mod3)=9(mod3)... и т.п.

В технике очень часто используется сравнение по модулю т=2, т. е. разделение всего множества чисел на четные и нечетные числа.

1.13. БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА

Отношение порядка устанавливает математическое обоснование некоторого порядка в смысле следования, предшествования элементов в множестве.

Различают отношение частичного и строгого порядка. Частичный порядок обозначается < и удовлетворяет следующим свойствам:

-рефлексивностиatpat ;

-антисимметричности

atpat ajpak

-транзитивности

\=>atpak . а(рак}

Отношение < в множестве вещественных чисел является частичным порядком, для которого

рефлексивность а,<аь - выполняется;

антисимметричность (а{<ц, аа =>ц=а{, - выполняется;

транзитивность (aaj, Qj<a} =>at<ak, - выполняется.

Отношение < устанавливает в множестве вещественных чисел порядок следования элементов друг за другом

а} < а2 < а3 <...< at... .

По этому принципу можно упорядочить расположение ячеек в кассете с зубчатыми колесами ( по числу зубьев ).

Строгий порядок обозначается "<" и удовлетворяет следующим свойствам:

-антирефлексивности арас

-асимметричности (а{<а)\(а\)\ 0;

-транзитивности (а{ра Qjpa) =>щра

Отношение "<" в множестве вещественных чисел устанавливает строгий порядок, исключая возможность равенства смежных элементов при следовании их друг за другом а1< а2< а3<...< at.... Отношение строгого порядка характерно для иерархических систем.

1.14. ДОМИНИРОВАНИЕ, ТОЛЕРАНТНОСТЬ

Отношение доминирования устанавливает математическое обоснование некоторого превалирования, превосходства элементов множества. Доминирование отвечает следующим свойствам бинарных отношений:

-антирефлексивности;

-асимметричности;

-нетранзитивности.

Например, доминированием является расстановка по занимаемым местам участников соревнований после их проведения.

Участник а! не может выиграть сам у себя (антирефлексивность), выигрыш у а2 свидетельствует о том, что не может быть наоборот (асимметричность), однако не доказывает возможность выигрыша у а3, который проиграл а2 (нетранзитивность).

Отношение толерантности устанавливает математическое обоснование представлений о сходстве, похожести и отвечает следующим свойствам бинарных отношений:

-рефлексивности;

-симметричности;

-нетранзитивности.

Свойства, присущие толерантности, интерпретируются следующим образом: каждый объект неразличим сам с собой (рефлексивность), а сходство двух объектов не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (симметричность). Втожевремя, если один объект сходен с другим, адругойстретьим, то это не означает, что первый сходен с третьим (нетранзитивность).

Например, отношение толерантности определяется сходством двух корпусных деталей, отличающихся тем, чтоводномитомжеотверстииу одной детали нарезается резьба М8, авдругой М10. Другим примером может служить отношение толерантности между четырехбуквенными словами, если они отличаются одной буквой (муха - мура - тура -...-слон).