а7< а3*

•Ь7 •Ь2

а7»

а3«

•Ь7 •Ь2

Рис.1.17. Диаграмма графика р

Рис.1.18. Диаграмма графика т

Объединением отношений р и т называется множество упорядоченных пар, которое принадлежит р или т

pUr={(a,b)\(a,b) ер или (a,b) ег} .

Для примера (1.6) - (1.8) имеем

р1)т= {(aj, bj), (a2, b2), (a3, b1), (a2, b{), (a3, b2)}

Это объединение изображено на диаграмме, показанной на рис. 1.19.

Для того чтобы произвести операцию объединения двух бинарных отношений при матричной форме задания графиков р и г, необходимо поэлементно просуммировать матрицы риге

Рис. 1.19. Диаграмма графика pU г учетом того, что элементы atj

полученной матрицы имеют следующее значение :

0,при (at +6.) = О

1,при (ai + b > 1 .

Для примера (1.6) - (1.8) получим

В данном случае операция объединения р U т охватывает все возможные движения робота по передаче заготовок в обоих технологических процессах.

Другие теоретико-множественные операции с отношениями выполняются аналогично этим операциям с множествами. Так, операция пересечения множеств имеет вид

рГ\т =(а,Ь) ер и (а,Ъ)ет .

Для выполнения этой операции при табличной форме задания графиков р и т необходимо матрицы поэлементно умножить. Операция разности отношений имеет вид

р\т -{а,Ъ) ер и (а,Ь)&т}.

Для выполнения этой операции при табличной форме задания ри т необходимо произвести поэлементное вычитание матриц р и т, считая, что элементы матриц принимают значение

0,при (at -b<0

1,при [at -bjj- 1

Операция дополнения (отрицания отношения) имеет вид р = \(a,b)\ (a,b) е А х В и (a,b) <£ р = Ах В\ р .

Поскольку произведению множеств АхВ, равному полному отношению отвечает единичная матрица [1у], то дополнение р находится поэлементным вычитанием матриц

а = i

У 1

р

р

Операция симметрической разности имеет вид

р®т = \[а,Ь)\(а,Ъ) &р, (а,Ь)ет, (а,Ь)ёрГ\т} .

При матричной форме задания р и т эта операция выполняется следующим образом :

р®т = (р+г)-(рх т) ,

где + - знак поэлементного суммирования матриц риг; х - знак поэлементного умножения матриц риг; - - знак поэлементного вычитания матриц риг.

Отношение р называется включением в отношение т, если р<т.

Если в (1.7) ограничиться двумя первыми парами, то при г, описываемой (1.8), будет р<т.

Отношение р1 называется обратным к отношению р, если р1={(b,a)/apb}. Обратное отношение на диаграмме графика отношений по сравнению с прямым отношением имеет то же самое расположение но обратное направление стрелок. Для примера (1.7) обратное отношение устанавливает связь между станками Ь}, Ь2я накопителями а;, а2, а3. Обратному отношению отвечает транспонированная матрица, т.е. матрица, в которой строки заменены столбцами с сохранением их нумерации. При этом элемент матрицы Ху занимает место ay. Для (1.7) матрица, соответствующая pJ, имеет вид

aj а2 а3

р1 ={(bI,a1),(b2,a2),(b1,a3)} .

Нередко бинарные отношения устанавливаются между тремя множествами

р = \[а,Ь) еАх В} , <т={(Ь1,с)еВхС) .

Например, случай обслуживания станков множества B={bi,b2} роботом, который загружает станки из накопителей A={ai,a2,a3j, а затем передает со станков обработанные заготовки либо в приемную тару,