перечисления, однако чаще всего задается в виде математического выражения. Например: b=sin a.

Функционалом Ф называется отображение множества функций А в числовое множество В, например:

А = [ср(х):х,х2 ,ех), 0<х<1

i

Ф = ср(х)dx ,

где <р(х) еА

Ф(х)= \xdx = х2 /2\0= 1/2 ,

о 1

Ф(х2)= \x2dx = x3 /з\о=1/3 ,

о

1

ф(ех)= \exdx = ex\0=e-l , о

В = (1/2, 1/3, е-1) .

Оператором р называется отображение множества функций А в множество функций В.

Например р =d/dx, тогда для предыдущего примера получим

В = (1,2х, ех) .

1.7. КОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ. ОБРАТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Композицией отображений

F:A-> В и G:B-> С называется отображение Н:А -> С, полученное последовательным применением отображений F и G, при этом записываютH=FG[J,3].

Графическая интерпретация комбинацииотображений

Рис. 1.12. Диаграмма комбинации показана на рис. 1.12. Так на-отображенийпример:

F.A-+B, F ={(а1,Ь1),(а],Ь2),(а2,Ь2)} ,

G:B-*C, G={(6,,c,),&,c,)} ,

Н:АС, H = F-G={(a],c2),(a1,c1),(a2,c1)} .

Графически эту комбинацию отражений H=FG можно представить так, как это показано на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Диаграмма отображений

Отображение можно интерпретировать как операции обработки, выполняемые последовательно с одного установа заготовки, аих комбинацию как выполнение их за один проход, например, фасонным резцом.

Отображение FJ:B->А называется обратным к отображеник.В->A, если их комбинация обеспечивает возвращение к любому исходному элементу, принадлежащему множеству и В, т.е.

УаеА, F(a)-F~1(b) = a ,

VbeB, F(b)-F~1(a) = b .

На диаграмме отображений, например на рис. 1.13, обратное отображение характеризуется противоположным направлением стрелок. Отсюда следует, что обратное отображение существует лишь для однозначных отображений. Так, для предыдущего примера F не имеет обратного отображения,а G имеет.

1.8. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Бинарные отношения являются частным случаем отображения. Бинарным отношением между множествами А и В называется закон, выделяющий в произведении множеств АхВ некоторое подмножество р, называемое графиком бинарного отношения, состоящее из упорядоченных пар (кортежей), первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - В, и устанавливающее определенное соответствие между этими компонентами,

р = \{a,b) е А х в} .

Если компоненты a е A и b е B находятся в бинарном отношении, записывают apb.

В качестве примера бинарного отношения можно привести рассматривавшиеся ранее отображения, устанавливающие связь между типом металлорежущего станка и операциями, выполненными на нем при изготовлении определенной детали. Если А={множество гаек}, В= {множество болтов}, то в качестве бинарного отношения может выступать определенный тип резьбы, обеспечивающий резьбовое соединение между гайкойиболтом, например, множество болтов и гаек, имеющих резьбу М8.

Бинарные отношения имеют очень большое практическое значение. Они позволяют с математической точки зрения исследовать работу различных устройств, производить их конструирование. Ктаким устройствам относятся управляющие вычислительные комплексы, системы числового программного управления, различные автоматические устройства дискретного действия, автоматические склады, роботы и т. п.

Все тригонометрические и арифметические операции, устанавливающие связь между двумя величинами, являются частным случаем бинарных отношений. Посколькусвязь междуними на координатной плоскости отображается графиком, то этот термин получил распространение для обозначения бинарных отношений между двумя элементами множеств.

В том случае, если между элементами множеств бинарные отношения отсутствуют, отношение называют пустым с графиком р =0.

Полным бинарным отношением называют график, полностью определенный на произведении множеств А и Вр= АхВ.

Бинарное отношение может быть также задано на одном множестве АхА, р ={(а,а)/ aе A}, в этом случае часто выделяют бинарное отношение, называемое диагональным,