Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре определяется порядком следования перемножаемых множеств, поэтому

Ах В * В х А, если В Ф А . Произведение множеств может обобщаться на любое их количество

п

Y[Ai=A1xA2x...xAn .

t-i

В результате получается множество кортежей, длина которых равна n. Произведение двух или трех множеств имеет простую геометрическую интерпретацию - это множество точек в прямоугольных координатах на

плоскости или в пространстве, заданных кортежами, компонентами которых являются координаты этих точек. Так, геометрическая интерпретация рассмотренного выше примера имеет вид, показанный на рис.1.8.

Таким образом, в результате произведениямножеств

получаютсякортежи,

образованные из элементов исходных множеств по правилу " каждый с каждым" в порядке следованияперемножаемых

множеств.

Произведение множеств часто используется на практике, например, два станка aj,a2 образующих множество A={aJ,a2}, сравниваются по точности и стоимости, при этом из элементов множества А необходимо образовать упорядоченные пары, состоящие в данном случае из его элементов aj,a2. (первый и второй станок). При этом на первом месте в упорядоченной паре будет находиться станок лучший по точности, а на втором - по стоимости. Результаты анализа отражаются следующим множеством :

А* = {(я;,аД(а;,аД(а2,аД(а2,а2)} ,

элементы которого имеют следующее значение : aj,a2 - станок 1 точнее, станок 2 дешевле; aj,a2- станок 1 точнее и дешевле; aj,a2 - станок 2 точнее, станок 1 дешевле; aj,a2 - станок 2 точнее и дешевле.

Заметим теперь, что А*=АхА, т.е. проведенный анализ может быть выполнен с помощью, произведения множеств.

1.6. ОТОБРАЖЕНИЯ, ФУНКЦИИ, ФУНКЦИОНАЛЫ, ОПЕРАТОРЫ

Отношения между множествами не исчерпываются только отношениями включения, объединения, пересечения, дополнения и т. д. Между элементами множеств могут существовать также отношения соответствия, когда элементы множеств могут сопоставляться друг с другом [1,3].

Отображением F множества А в множество В называется правило, по которому каждому элементу a е А сопоставляется элемент b е B, что записывается следующим образом :

F: А> В или В = F(a) .

Часто при этом множество А называют прообразом, а множество элементов b, находящихся в соответствии с элементами aе А,- образом, который обозначают ImF, причем ImF с B.

Геометрическая интерполяция отображения может быть при этом такой, как показано на рис.1.9.

Наиболее просто задать отображение с помощью перечисления (списка значений).

Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация отображения с помощью понятия областей

Например: определив множество А как множество операций по изготовлению шестерни (см. рис.1.1 ),т. е.

А = (токарная обработка= au нарезание резьбы= a2, фрезерование шпоночного паза= a3, изготовление зубчатого колеса= a4),

а множество В как множество металлообрабатывающего оборудования на участке, т. е.

В= (токарные станки = bj,b2, фрезерные станки = b3,b4, шлифовальный станок = b5, зуборезный станок = b6),

то изготовление шестерни (см. рис.1.1) на участке можно представить изображением

F = {{а,,Ь2),(а2,Ь2),(а3,Ъ3),(а4,Ъ6)} .

Последнее выражение иллюстрируется рис. 1.10.

Причем отображение F из А в В может быть различным

Отображениеназывается

функцией f (f:A->B), если устанавливает соответствие между числовыми множествами.

Например: определим А как множество движений при перегрузке палеты транспортным механизмом на металлорежущий станок

a3

А= {aj, - вертикальное перемещение, a2 вращение},

горизонтальное перемещение,

а множество В как множество механизмов, реализующих различные виды движений, например:

В={ bj - рейка-реечное колесо, b2 - винт-гайка, b3 - кулачок-толкатель, b4 -зубчатые колеса, b5- гидромотор).

Тогда отображение F:A->B, устанавливающее связь между движением и механизмом, реализующим движение, можно представить, например, как показано на рис. 1.11, что описывается выражением

F ={(а1,Ъ1),(а2,Ъ1),(а3,Ъ4)} .

Причем отображение F из А в В может быть различным, например,

F = [(a,,b2),(a2>b1),(a3,b5)} .

Таким образом, отображение F определяет и конструкцию транспортного механизма. При этом необходимо учитывать механизмы, взаимодействующие с этим устройством, точность работы, быстродействие, наличие конкретных приводов и энергоносителей.

Часто функциональная зависимость элементов b е B от элементов a е A записывается в виде b=f(a). Функция может задаваться с помощью