а для случая изготовления шестерни (см. рис.1.1) А © В = {точение, нарезание резьбы, нарезание зубчатого колеса}.

Рис. 1.6. Диаграмма Эйлера для операции "симметрической разности"

1.3. СВОЙСТВА ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ

Теоретико-множественные операции обладают рядом свойств [1,4], основными из которых являются следующие :

1.Идемпотентность AUA= А, АГ\А= Ал

2.Коммутативность AUB=BUA, АПВ=ВПА.

3.Ассоциативность AU(B U C) = (AUB)UС,

АП (вПс)=(аПв) Пс.

4.Поглощение AU(AnB)=A, An(AUB)=A.

5.Дистрибутивность AU(BnC) = (AUB) П (AUC),

An (BUС)=(АПВ)ЩАПС).

6.Универсальность нижней и верхней границы

A\J0 = A, Af)U = A, AHU = A, A\JU = U. Доказательство тождеств основано на отношении принадлежности Чтобы убедиться, например, в справедливости тождества 5, положим:

xeAU(Bf]C) •

Это означает, по определению объединения множеств А,(ВГ\С), что х принадлежит или одному, или другому множеству, т.е.

хеА или х е(#Г)С) .

Поскольку по определению пересечения множеств В, С - ВПСх должен принадлежать и множеству В, и множеству С, то последнее выражение можно преобразовать к виду

\х еВ х g А или <

[х еС.

Отсюда видно, что х должен принадлежать множеству А или В и одновременно множеству А или С, т. е.

х £ А или х е В х е. А или х е С.

На основании определения объединения множеств из последнего выражения находим:

xeA\jB xeAUC,

а на основании определения пересечения множеств это выражение может быть преобразовано следующим образом:

xgA\JB и xeAUC xe(AUB)n{Al)C).

Поскольку х принадлежит последнему множеству, то оно является подмножеством исходного множества (1.3) (по определению подмножеств), т.е.

(AUB)n(A[jC)A{J(Bf)C) . Аналогично доказывается и соотношение

A{J(Bf)C){A{jB)n(A[JC) .

В соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому тождеству [4]:

A{J(B(]C)=(A{jB)f](AUC) .

1.4. УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО

При рассмотрении множеств порядок следования элементов в них не учитывается, однако во многих случаях необходимо рассматривать упорядоченный набор элементов в множестве, например, порядок цифр при записи конкретного числа или последовательность букв в слове [1,3].

Кортежем, или вектором, называется множество, содержащее упорядоченный набор элементов, которые в этом случае называются компонентами или координатами.

В кортеже место каждой компоненты является строго фиксированным и не может быть изменено, в отличие от обычного множества в кортеже могут быть и одинаковые компоненты.

Например, одинаковые буквы в слове или одинаковые операции в технологическом процессе. Задание кортежа производится так же, как и обычных множеств, отличие состоит лишь в том, что используются круглые скобки.

Например: A=(aj,a2, ... an) для детали, изображенной на рис.1.1, последовательность операций технологической обработки также может быть

записана в виде кортежа:

А = (токарная обработка, нарезание резьбы, фрезерование шпоночного паза, изготовление зубчатого колеса).

Число элементов кортежа называется его длиной, кортежи длиной 2 часто называют упорядоченными парами,или просто парами, длиной 3 -тройками, длиной 4 - четверками и т.д., длиной п - ми.

Частным случаем кортежа является кортеж длиной 0 называемый пустым кортежем и обозначаемый () или 0.

Кортеж длиной 2 A=(a1,a2) можно рассматривать как точку на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку, как это показано на рис.1.7.

Компоненты a1ta2 кортежа А = (aha2) будут его проекциями на оси 1 и 2

Пр1{а1,а2) = а1, Пр2(а1,а2) = а2 .

Аналогичным образом кортеж длиной 3 можно представить пространственным вектором, проекции которого на оси координат являются его компонентами

llpi(a1,a2,a3) = ai, i = 1,2,3.

Однако в данном случае можно говорить о проекции кортежа сразу на две оси, т.е. на координатные плоскости:

1.5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ Произведением множеств (его также называют прямым или Декартовым произведением) АхВ называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар (кортежей), первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - В

А х В =а е А,в еВ} .

Например, если4= {ah а2, а3}, В= {bh b2j, то

А х В = {{a1,e1),(aI,e2),(a2,e1),{a2,в2),{а3,в1),{а3,в2)} .