A cz АУЛ ,

где V- символ, называемый квантором и означающий "любой", "каков бы ни был", "для всех";

- транзитивность, т.е. исключение промежуточной операции по установлению отношений между множествами

(AczB, ЯсС)=> AczC .

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Операции над множествами, называемые также теоретико-множественными операциями, позволяют производить над множествами действия, аналогичные арифметическим [1,3].

1. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В, т.е.

A(JB = xjc еА или х еВ} ,

где U- символ объединения. Например:

А = {А,0,1,2,4,3} , В={3,2М0} , AUB = {A,0,n,#, 1,2,3,4} .

Так, для изготовления шестерни, эскиз которой показан на рис.1.1, необходим ряд операций. Обозначим через А множество операций токарной обработки, В - операций фрезерной обработки, AUB - операции, необходимые для изготовления шестерни. Для данного случая эти множества равны: A={ точение,нарезаниерезьбы,

изготовление шпоночного паза}, В= {нарезание зубчатого колеса, изготовление шпоночного паза}, AUB ={точение, нарезание резьбы, изготовление шпоночного паза, нарезание зубчатогоколеса}.Теоретико-

множественные операции имеют простую геометрическую интерпретацию с помощью диаграмм Эйлера. Так, например, если множества A и B имеют общий универсум U, то, изобразив элементы этих множеств

точками на плоскости, получим на рис.1.2 диаграмму Эйлера, где прямоугольник - это универсум U, окружности -множества А и В, аих объединение-это заштрихованная фигура, состоящая из кругов А и В.

2. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам и А, и В, т.е.

Af]B = jx х <= А и хеВ} , где П - символ пересечения.

Например, если множества А и В равны (1.1),(1.2), то

АПВ = {0,3,2} ,

а для случая изготовления шестерни (см. рис.1.1) имеем АП В ={изготовление шпоночного паза}.

Диаграмма Эйлера для операции пересечения имеет вид, изображенный на рис.1.3, где пересечение А и В показано заштрихованной фигурой.

3. Разностью множеств А и В называется множество тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В, т. е.

А\В = {х\х еА и х £б} ,

где \- символ разности.

Так, если множества и В равны (1.1),(1.2), то

А\В = {А,1,4}; В\А = {П,#] , и для случая изготовления шестерни (см. рис.1.1)

А\ В ={точение, нарезание резьбы},

В\ А ={изготовление зубчатого колеса}.

Диаграмма Эйлера для операции разности имеет вид, показанный на рис.1.4, где заштрихованная фигура-разность А\В,

4. Дополнением множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих его универсуму U, т. е.

A=U\A = \x\x<eU, х £А} Например, А= {а, в, с}, тогда

А = {{а},{в},{с},{а,в},{а,с},{в,с},{ }} .

Дополнение изображается на диаграмме Эйлера заштрихованной фигурой так, как это показано на рис.1.5 .

5.Симметрической

разностью множеств А и В называется множество тех и только техэлементов,которые

принадлежат множествам А и В, но не содержатся в обоих сразу, т. е.

А®В = {х\хеА, хеВ, х£Ар\В}, где © - символ симметрической разности.

Симметрическая разность изображается на диаграмме Эйлера заштрихованной фигурой так, как это показано на рис.1.6. Так, для А и В, описываемых (1.1) и (1.2), имеем

А®В = {А,1,4,П,#} ,