Рис. 15.1 Порядковое дерево. Красные вершины изображены как светлосерые, чёрные - как тёмные. Помимо обычных полей красно-чёрного дерева, у каждой вершины х есть поле size[a;], где хранится размер поддерева с корнем в х.

4-й элемент поддерева с корнем 30. В этом дереве корень имеет порядковый номер 2, поэтому ищем (4 - 2) = 2-й элемент правого поддерева. В этом дереве корень 38 оказался вторым по порядку (размер левого поддерева равен 1), поэтому мы возвращаем указатель на вершину 38.

При каждом рекурсивном вызове процедуры мы спускаемся по дереву на один уровень, поэтому время работы в худшем случае пропорционально высоте. Высота красно-чёрного дерева с га вершинами равна О (log га), так что время работы процедуры OS-Select на га-элементном множестве есть О (log га).

Определение порядкового номера элемента

Процедура OS-Rank получает указатель на элемент х порядкового дерева Г и находит порядковый номер (rank) элемента в дереве.

7 return г

Порядковый номер элемента х на единицу больше количества элементов, меньших х. Цикл в строках 3-6 имеет такой инвариант: г есть порядковый номер вершины х в поддереве с корнем у. Перед первым выполнением цикла это так: г есть порядковый номер х в дереве с корнем в х (строка 1), а у = х (строка 2). Как надо изменить г при переходе от вершины у к её родителю р[у\1 Если у

OS-Rank(T, х)

1г <r- size[left[x]] + 1

2у <- х

3while у ф root[T]

4do if у = right[p[y]]

5then г <- г +

6у <г- р\у]

-левый ребёнок вершины р[у], то вершина х имеет один и тот же порядковый номер в поддеревьях с корнями в у и р[у]. Если же у

-правый ребёнок, при переходе от у к р[у] к порядковому номеру вершины х прибавится вг,ге[/е/£[р[у]]] элементов левого поддерева и сама вершина р[у]. В строке 5 мы учли эту добавку.

При выходе из цикла у = root[T], а г - порядковый номер х во всём дереве.

Для примера посмотрим, как эта процедура определит порядковый номер вершины с ключом 38 в дереве, изображённом на рис. 15.1. В таблице показан ключ вершины у и число г в начале каждого цикла.

Шагkey[x]г

1382~~

2304

3414

42617

Возвращается значение 17.

С каждым шагом глубина вершины у уменьшается на единицу, и каждый шаг требует времени 0(1), поэтому время работы процедуры OS-Rank на га-элементном множестве есть O(logra).

Обновление информации о размерах поддеревьев

С помощью полей size мы научились быстро вычислять порядковый номер элемента, а также находить г-й элемент дерева. Теперь надо понять, как обновлять это поле при добавлении и удалении элемента из красно-чёрного дерева. Оказывается, это можно сделать, не ухудшив асимптотическую оценку времени работы процедур добавления и удаления элемента.

Как мы видели в разделе 14.3, добавление элемента в красно-чёрное дерево состоит из двух частей: сначала мы добавляем новую вершину, делая её ребёнком уже существующей, а затем производим некоторые вращения и перекрашивания (если это необходимо)

На первом этапе мы для каждой пройденной вершины х (на пути от корня до места добавления вершины) увеличим на единицу значение size[x]. В поле size добавленной вершины запишем число 1. При этом мы проходим путь длиной О (log га) и дополнительно тратим время О (log га), после чего все поля size правильны.

При вращении изменяются размеры только двух поддеревьев: их вершинами являются концы ребра, вокруг которого происходило вращение. Поэтому к тексту процедуры Left-Rotate(T, х) (раздел 14.2) достаточно добавить строки

13size[y] <- size[x]

14size[x] <- size[left[x]] + size[right[x]] + 1

Рис. 15.2 Обновление поля size при вращениях вокруг ребра (х,у). Это поле необходимо обновить только у вершин х и у. Для того, чтобы узнать новое значение, достаточно обладать информацией, хранящейся в х, у ш в корнях поддеревьев, изображенных в виде треугольников.

На рис. 15.2 показано, как меняется поле size. Аналогичные изменения внесём и в процедуру Right-Rotate.

Так как при добавлении элемента в красно-чёрное дерево выполняется не больше двух вращений, то коррекция поля size после вращений требует 0(1) операций (а перекрашивание вообще не влияет на размеры). Таким образом, добавление элемента в порядковое дерево из га вершин требует времени О (log га), как и для обычного красно-чёрного дерева.

Удаление элемента из красно-чёрного дерева также состоит из двух частей - сначала мы удаляем вершину у, а затем делаем (самое большее) три вращения (см. разд. 14.4). После выполнения первой части, мы уменьшим на единицу поля size у всех вершин на пути из у к корню. Длина этого пути О (log га), поэтому дополнительно нам потребуется время О (log га). Что происходит с вращениями, мы уже видели. Таким образом, обновление поля size, не ухудшает (асимптотически) время, необходимое для удаления и добавления элемента.

Упражнения

15.1-1 Пусть Г - дерево на рис. 15.1. Покажите, как работает процедура OS-Select(T, 10).

15.1-2 Пусть Г - дерево на рис. 15.1. Покажите, как работает процедура OS-Rank(T, ж), где ж - вершина с ключом 35.

15.1-3 Перепишите процедуру OS-Select, не используя рекурсии.

15.1-4 Реализуйте рекурсивную процедуру OS-Key-Rank(T, к), которая получает на входе порядковое дерево Г с попарно различными ключами, а также ключ к, и возвращает порядковый номер ключа к в этом дереве.

15.1-5 Дана вершина ж порядкового дерева из га вершин и натуральное число г. Как найти г-ж по порядку элемент, считая от