|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[52] Поэтому Т(п) = Х- (т(1) + Т(п - 1) ++ Т(-п ~ ?)) j + 0(га) (8-2) (слагаемое, соответствующее g = 1, входит дважды). Поскольку Г(1) = 6(1) и Т(га) = 0(п2), имеем (Т(1) + Т(га - 1)) = (6(1) + 0(п2)) = 0(п). Поэтому слагаемые Т(1) и Т(га - 1) в первой скобке (8.2) можно включить в 0(га). С учётом этого получаем п - 1 T(n) = -J2(T(q)+T(n-q)) + e(n).(8.3) П 9 = 1 Поскольку каждое слагаемое Т(к), где /г = 1,..., га - 1, встречается в сумме дважды, её можно переписать так: 2 п~Х Т(п) =-J2T(k)+ в(п).(8.4) п k=i Решение рекуррентного соотношения Соотношение (8.4) можно решить, используя метод подстановки. Предположим, что Т(п) anlgn + b, где константы а > 0 и Ь > О пока неизвестны, и попытаемся доказать это по индукции. При п = 1 это верно, если взять достаточно большие а и Ь. При га > 1 имеем 2 n 1 Г(га) = -Г(Л) + е(п) П к=1 2 =4 -2 (aklgk + b) + e(n) п k=i 2а 4 . . . 26 Е klg к Н--(га - 1) + 6(га). га fc=i Ниже мы покажем, что первую сумму можно оценить так: п-111 klgk -га2 lgra - -га2.(8.5) к=1 Используя это, получим ш, . 2а (\ о, 1 Л 26, . Л. . ТЫ) <: - ( -п2 lg п - -п2 \ + - Ы - 1) + ©Н ага lg га - -га + 26 + 0(га) = ага lg га + 6 + О(га) + 6 - -raj ага lg га + 6, если выбрать а так, чтобы га было больше 0(га)+6. Следовательно, среднее время работы есть О (га lgra). Доказательство оценки для суммы Осталось доказать оценку (8.5). Поскольку каждое слагаемое не превышает ralgra, получаем оценку п-1 k lg к га2 lg га. fc=i Для наших целей она не подходит - нам необходима более точная оценка га2 lg га - £7(га2). Если в предыдущей оценке заменять лишь lg к на lg га, оставив к в неприкосновенности, получим оценку ЕП 1 га(га - 1)1 2 Hg£;lgra2K =--lg и -га lg га. fc=ifc=i Осталось лишь заметить, что заменяя \gk на lgra, мы прибавили по крайней мере по к 1 к каждому слагаемом первой половины суммы (где к га/2), всего примерно (га/2)2/2 = га2/8. Более формально, п-1Г™/2!-1п-1 /г lg /г =/г lg /г +/г lg к к=1к=1к=\п/2] При к < [га/2] имеем lg к lg(ra/2) = lg га - 1. Поэтому n-iГ™/2!-1п-1 к lg /г (lg га - 1)/г + lg га/г fc=lfc=lfc="n/2] п-1\п/2]-1 11/га \ га = lgra2- 2 2ПП~ gn~ 2\2~ ) 2 к=1к=1 1 2,1 2 < -га lg га--га при п 2. Оценка (8.5) доказана. [Следующий простой вывод оценки для среднего времени работы вероятностного алгоритма быстрой сортировки (для несколько другого варианта алгоритма) предложил Л.А. Левин. (1)Будем представлять себе сортировку так: есть N камней разного веса и чашечные весы для их сравнения. Мы берём случайный камень и делим всю кучу на три части: легче его, тяжелее его и он сам, после чего (рекурсивный вызов) сортируем первую и вторую части. (2)Как выбрать случайный камень? Можно считать, что сначала всем камням случайно присваиваются различные ранги (будем считать их числами от 1 до N), и в качестве границы берётся камень минимального ранга (из подлежащих сортировке в данный момент). (Можно проверить, что это равносильно независимым выборам камней на каждом шаге: на первом шаге каждый из камней может быть выбран с равной вероятностью, после такого выбора в каждой из групп все камни также равновероятны и т. д.) (3)Таким образом, каждый камень характеризуется двумя числами от 1 до W - порядковым номером (в порядке возрастания весов) и рангом. Соответствие между номерами и рангами определяет число операций в процессе сортировки. (4)Для каждых двух номеров i, j из {1,..., N} через p(i,j) обозначим вероятность того, что камни с этими номерами будут сравниваться друг с другом. Например, p(i, г + 1) = 1, поскольку соседние по весу камни должны быть сравнены обязательно (сравнения с другими камнями их не различают). (5)Заметим, что p(i, г + 2) = 2/3. В самом деле, сравнения не произойдёт в том и только том случае, когда из трёх камней с номерами г, г + 1 и г + 2 камень г + 1 имеет наименьший ранг. Аналогично, p(i, г + к) = 2/(к + 1) (камни с номерами г и г + к сравниваются, если среди к + 1 камней i, г + 1,..., г + к один из двух крайних имеет наименьший ранг). (6)Математическое ожидание числа сравнений можно разбить в сумму m(hJ) ожиданий числа сравнений между камнями с номерами г и j. Но поскольку два данных камня сравниваются не более одного раза, m(i,j) = p(i,j). Таким образом, получаем точное выражение для математического ожидания числа сравнений: (7) Группируя в этой сумме равные члены и вспоминая, что 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/к = 0(\gk), получаем оценку 0(N\gN) для математического ожидания времени работы быстрой сортировки. Анализ облегчается тем, что алгоритм разбиения (на три части) более симметричен. Реализация такого способа разбиения также |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||