Рис. 8.4 Дерево рекурсии для случая, когда разбиение каждый раз производится в отношении 9 : 1. Время работы равно 0(nlgn).

время работы по-прежнему составляет в (га lgra), хотя константа и больше. Ясно, что для любого фиксированного отношения размеров частей (сколь бы велико оно ни было) глубина дерева рекурсии по-прежнему будет логарифмической, а время работы будет равно 0(ralg га).

Среднее время: интуитивные соображения

Чтобы вопрос о среднем времени работы имел смысл, нужно уточнить, с какой частотой появляются различные входные значения. Как правило, предполагается, что все перестановки входных значений равновероятны. (Мы вернёмся к этому в следующем разделе.)

Для наугад взятого массива разбиения вряд ли будут всё время происходить в одном и том же отношении - скорее всего, часть разбиений будет хорошо сбалансирована, а часть нет. Как показывает упр. 8.2-5, примерно 80 процентов разбиений производятся в отношении не более 9:1.

Будем предполагать для простоты, что на каждом втором уровне все разбиения наихудшие, а на оставшейся половине уровней наилучшие (пример показан на рис. 8.5(a)). Поскольку после каждого «хорошего» разбиения размер частей уменьшается вдвое, число «хороших» уровней равно 0(lg га), а поскольку каждый второй уровень «хороший», общее число уровней равно 0(lg га), а время работы - O(ralgra). Таким образом, плохие уровни не испортили асимптотику времени работы (а лишь увеличили константу, скрытую в

В данном случае эта глубина

так что

Рис. 8.5 (а) Два уровня: плохой (п разбивается на п - 1 и 1) и хороший (п - 1 разбивается на две равные части), (б) Если эти два уровня заменить одним, получится разбиение на почти равные по величине части.

асимптотическом обозначении). Упражнения

8.2-1 Докажите, что если массив состоит из одинаковых элементов, то время работы процедуры Quicksort равно ©(га lgra).

8.2-2 Пусть массив отсортирован в порядке убывания. Докажите, что время работы процедуры Quicksort составляет ©(га2).

8.2-3 Как правило, в банках обрабатывают чеки в порядке их поступления; клиенты же предпочитают, чтобы в отчёте платежи были указаны в порядке номеров чеков. Владелец чековой книжки обычно выписывает чеки подряд, а получатели чеков предъявляют их в банк вскоре после выписывания. Таким образом, порядок номеров нарушается незначительно. Следовательно, банку требуется отсортировать почти отсортированный массив. Объясните, почему сортировка вставками в таких случаях работает быстрее, чем быстрая сортировка.

8.2-4 Пусть разбиения на каждом шаге производятся в отношении а : 1 - а, где 0 < а 1/2. Докажите, что минимальная глубина листа на дереве рекурсии примерно равна - lg га/ lg а, а максимальная примерно равна - lg га/ lg(1 - а). (Не заботьтесь об округлении.)

8.2-5* Докажите, что для любого числа а в интервале 0 < а 1/2 вероятность того, что разбиение случайного массива будет сбалан-

сировано не хуже, чем а : 1 - а, примерно равна 1 - 2а. При каком значении а вероятность этого события равна 1/2?

8.3. Вероятностные алгоритмы быстрой сортировки

Ранее мы предположили, что все перестановки входных значений равновероятны. Если это так, а размер массива достаточно велик, быстрая сортировка - один из наиболее эффективных алгоритмов. На практике, однако, это предположение (равной вероятности всех перестановок на входе) не всегда оправдано (см. упр. 8.2-3). В этом разделе мы введём понятие вероятностного алгоритма и рассмотрим два вероятностных алгоритма быстрой сортировки, которые позволяют отказаться от предположения о равной вероятности всех перестановок.

Идея состоит в привнесении случайности, обеспечивающем нужное распределение. Например, перед началом сортировки можно случайно переставить элементы, после чего уже все перестановки станут равновероятными (это можно сделать за время 0(п) - см. упр. 8.3-4). Такая модификация не увеличивает существенно время работы, но теперь математическое ожидание времени работы не зависит от порядка элементов во входном массиве (они всё равно случайно переставляются).

Алгоритм называется вероятностным (randomized), если он использует генератор случайных чисел (random-number generator). Мы будем считать, что генератор случайных чисел Random работает так: Random (а, Ъ) возвращает с равной вероятностью любое целое число в интервале от а до Ь. Например, Random(0,1) возвращает 0 или 1 с вероятностью 1/2. При этом разные вызовы процедуры независимы в смысле теории вероятностей. Можно считать, что мы каждый раз бросаем кость с (b - а + 1) гранями и сообщаем номер выпавшей грани. (На практике обычно используют генератор псевдослучайных чисел (pseudorandom-number generator) - детерминированный алгоритм, который выдаёт числа, «похожие» на случайные.)

Для такого вероятностного варианта алгоритма варианта быстрой сортировки нет «неудобных входов»: упражнение 13.4-4 показывает, что перестановок, при которых время работы велико, совсем мало - поэтому вероятность того, что алгоритм будет работать долго (для любого конкретного входа) невелика.

Аналогичный подход применим и в других ситуациях, когда в ходе выполнения алгоритма мы должны выбрать один из многих вариантов его продолжения, причём мы не знаем, какие из них хорошие, а какие плохие, но знаем, что хороших вариантов достаточно много. Нужно только, чтобы плохие выборы не разрушали