Порядковые статистики

Если нам надо найти г-й по величине элемент массива, можно сначала отсортировать массив, что требует времени fi(ralgra), если не пользоваться внутренней структурой элементов (глава 9). Но при этом выполняется лишняя работа (сортировка остальных элементов), и можно построить более эффективные алгоритмы для задачи отыскания г-го по величине элемента (которую называют также задачей о порядковых статистиках). В главе 10 приводятся два таких алгоритма: один требует времени О (га2) в худшем случае и О (га) в среднем; другой, более сложный, обходится временем О (га) в худшем случае.

Используемые сведения из математики

Большая часть материала глав 7-10 доступна читателю с минимальной математической подготовкой. Однако вероятностный анализ алгоритмов (быстрой сортировки, сортировки вычерпыванием и отыскания г-го по величине элемента) требует знакомства с теорией вероятностей (глава 6). Добавим, что алгоритм отыскания г-го элемента за линейное время (в худшем случае) более сложен, чем другие алгоритмы этой главы.

7

Сортировка с помощью кучи

В этой главе рассмотрен алгоритм сортировки с помощью кучи

(heapsort). Как и алгоритм сортировки слиянием, он требует времени О (га lgra) для сортировки га объектов, но обходится дополнительной памятью размера 0(1) (вместо О (га) для сортировки слиянием). Таким образом, этот алгоритм сочетает преимущества двух ранее рассмотренных алгоритмов - сортировки слиянием и сортировки вставками.

Структура данных, которую использует алгоритм (она называется «двоичной кучей») оказывается полезной и в других ситуациях. В частности, на её базе можно эффективно организовать очередь с приоритетами (см. разд. 7.5). В следующих главах нам встретятся алгоритмы, использующие сходные структуры данных (биномиальные кучи, фибоначчиевы кучи).

Термин «куча» иногда используют в другом смысле (область памяти, где данные размещаются с применением автоматической «сборки мусора» - например, в языке Lisp), но мы этого делать не будем.

7.1. Кучи

Двоичной кучей (binary heap) называют массив с определёнными свойствами упорядоченности, Чтобы сформулировать эти свойства, будем рассматривать массив как двоичное дерево (рис. 7.1). Каждая вершина дерева соответствует элементу массива. Если вершина имеет индекс г, то её родитель имеет индекс [г/2\ (вершина с индексом 1 является корнем), а её дети - индексы 2г и 2г + 1. Будем считать, что куча может не занимать всего массива и хранить массив А, его длину length[A] и специальный параметр heap-size[A] (размер кучи), причём heap-size[A] length[A]. Куча состоит из элементов А[1],..., A[heap-size[A]]. Движение по дереву осуществляется процедурами

Кучи

143

Рис. 7.1 Кучу можно рассматривать как дерево (а) или как массив (б). Внутри вершины показано её значение. Около вершины показан её индекс в массиве.

Parent (г) return [г/2\

left(i) return 2г

Шснт(г)

return 2г + 1

Элемент А[1] является корнем дерева.

В большинстве компьютеров для выполнения процедур Left и Parent можно использовать команды левого и правого сдвига (Left, Parent); Right требует левого сдвига, после которого в младший разряд помещается единица.

Элементы, хранящиеся в куче, должны обладать основным свойством кучи (heap property): для каждой вершины г, кроме корня (т.е. при 2 г heap-size[A]),

Отсюда следует, что значение потомка не превосходит значения предка. Таким образом, наибольший элемент дерева (или любого поддерева) находится в корневой вершине дерева (этого поддерева).

Высотой (height) вершины дерева называется высота поддерева с корнем в этой вершине (число рёбер в самом длинном пути с началом в этой вершине вниз по дереву к листу). Высота дерева, таким образом, совпадает с высотой его корня. В дереве, составляющем кучу, все уровни (кроме, быть может, последнего), заполнены полностью. Поэтому высота этого дерева равна О (lgra), где га - число элементов в куче (см. упр. 7.1-2). Как мы увидим ниже, время работы основных операций над кучей пропорционально высоте дерева и, следовательно, составляет O(lgra). Оставшаяся