Наша следующая оценка будет для левого хвоста биномиального распределения: с удалением границы от точки максимума вероятность, приходящаяся на хвост, экспоненциально уменьшается.

Теорема 6.4. Пусть X - число успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q = 1 - р. Тогда

к~г ь. Р{Х < к} = yb(i;n,p) < --Ь(к;п,р)

±-пп - к

пр - к

8 = 01

при 0 < к < пр.

Доказательство. Мы сравниваем "YZq Ь{г; га, р) с суммой геометрической прогрессии (см. разд. 3.2). Для г = 1,2,...,к формула (6.42) даёт

b(i-l;n,p) iq/ i \ (q\ ( к \(q

b(i;n,p) (га - i + 1)р \п - i J \р J \п - к J \р Положив

к \ q

к) \р

< 1,

видим, что в последовательности b(i;n,p) при 0 г к каждый член меньше следующего, умноженного на х. Поэтому интересующая нас сумма (от г = 0 до г = - 1) меньше значения Ь(к;п,р), умноженного на х + ж2 + х3 + ... = ж/(1 - ж):

к-1

v&(i;ra,p) <--Ъ{к;п,р) = --Ъ{к;п,р).

-1-хпп - к

8 = 01

□

При к гар/2 коэффициент kq/{пр - к) не превосходит 1, так что Ь(к; п,р) является оценкой сверху для суммы всех предыдущих членов. Для примера рассмотрим га бросаний симметричной монеты. Положим р = 1/2 и к = га/4. Теорема 6.4 гарантирует, что вероятность появления менее чем га/4 орлов меньше вероятности выпадения в точности га/4 орлов. (Более того, для любого положительного г га/4 вероятность появления менее г орлов меньше вероятности появления в точности г орлов.) Теорема 6.4 может быть использована вместе с оценками биномиального распределения сверху, например с леммой 6.1.

Симметричная оценка для правого хвоста выглядит так:

Следствие 6.5. Пусть X - число успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q = 1 - р. Тогда

Р{Х>к}= У b(i;n,p) < ~k)Pb(k-n,p) -к - пр

i=k+l

при пр < к < п.

В следующей теореме рассматривается более общий случай: каждое из испытаний имеет свою вероятность успеха.

Теорема 6.6. Рассмотрим серию из п независимых испытаний; вероятность успеха в г-м из них обозначим pi (вероятность неудачи qi равна 1-pi). Пусть случайная величина X есть число успехов в серии, и пусть ц: = М[Х]. Тогда для г > д выполнено неравенство

Р{Х-г}<

Доказательство. Для любого а > 0 функция еах строго возрастает по х, поэтому

Р{Х - ц > г} = Р{е°(х- еаГ},

Для оценки правой части мы используем неравенство Маркова (6.32) (а наиболее выгодное значение а подберём позднее):

Р{Х-ц > г} <С Ще°(х-]е-аг.(6.43)

Остаётся оценить

Щеа>(Х-ц)] и выорать

значение для а. Рассмотрим случайную величину Х{, равную 1 в случае успеха г-го испытания и 0 в случае его неудачи. Тогда

Х = Хг

8 = 1

X-vL = Y,(Xi-Pi)-

8 = 1

Поскольку испытания независимы, то величины Х{ независимы. Поэтому величины еаХг~Рг] независимы (упр. 6.3-4), и по формуле (6.27) можно переставить произведение и математическое ожидание:

Щеа{Х-ц)] = м

П

i=l

еа(Х,-р.)

ГТМ[е«№-к)].

8 = 1

Каждый множитель можно оценить так:

М[е«№-к)] = е«(1-к)рг + е«(°-к)дг = Pie + qie-a

ргеа + 1(6.44)

ехр(ргеа),

где ехр(ж) обозначает экспоненциальную функцию: ехр(ж) = ех. (Мы воспользовались тем, что а > О, (ц 1, eaq% еа и е~ар% 1, а также неравенством (2.7).) Следовательно,

п

МИХ)] <С Цехр(р,еа) = ехр(еа),

8 = 1

так как /1 = 5TJ"=1Pi- Таким образом, из неравенства (6.43) следует оценка

Р{Х - ц г} ехр(деа - сиг).(6.45)

Выбирая а = 1п(г/д) (см. упр. 6.5-6), получаем

Р{Х -fir} ехр(де1п(г/ - rln(r x))

= exp(r-rln(r x)) = := () .

□

[Формально эта оценка применима при любом г > fi, но её имеет смысл применять только если г больше fi более чем в е раз, иначе правая часть будет больше единицы.]

Теорему 6.6 можно применять и для случая равных вероятностей. При этом [1 = М[Х] = пр, и получается такое

Следствие 6.7. Пусть X - число успехов в серии из п независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда

Р{Х - пр г} =b(k; п, р) (~•

к= [пр-\-г~\

Упражнения

6.5-1* Что менее вероятно: не получить ни одного орла при п бросаниях симметричной монеты, или получить менее п орлов при 4га бросаниях симметричной монеты?