тельных членов:

b(k; га, р)

b(k - 1; га, р)

ctlvk-lqn-k+l

n\(k - 1)!(га - к + 1)\р

к\[п - k)\n\q (га - к + 1)р

(6.42)

kq

(га + 1)р - к kq

Это отношение больше 1, когда (га + 1)р - к положительно, так что b(k;n,p) > Ь(к - 1;га,р) при к < (га + 1)р (функция растёт), и b(k;n,p) < Ь(к - 1;п,р) при /г > (га + 1)р (функция убывает). Если число (га + 1)р - целое, то функция имеет двойной максимум: в точках (га+1)р и (га+1)р-1 = rap -д. В противном случае максимум один, и достигается он в целой точке к, лежащей в диапазоне rap- q < к < (га + 1)р.

Следующая лемма даёт верхнюю оценку для биномиального распределения.

Лемма 6.1. Пусть гаО, 0<р<1, q = 1 - р, О/гга. Тогда

Упражнения

6.4-1 Проверьте аксиому 2 для геометрического распределения.

6.4-2 Сколько раз в среднем нужно бросать 6 симметричных монет до выпадения 3 орлов и 3 решек (в одном испытании)?

6.4-3 Покажите, что b(k; га,р) = Ь(п - к; га, q), где q = 1 - р.

6.4-4 Покажите, что максимум биномиального распределения Ь(к;п,р) примерно равен l bmpq, где q = 1 - р.

□

6.4-5* Покажите, что вероятность не получить ни одного успеха в га независимых испытаниях с вероятностью успеха 1/га примерно равна 1/е. Затем покажите, что вероятность получить ровно один успешный исход также приблизительно равна 1/е.

6.4-6* Профессор бросает симметричную монету га раз, студент делает то же самое. Покажите, что вероятность того, что число орлов у них будет одинаково, равна С/11. (Указание. Если считать орла успехом профессора и неудачей студента, то искомое событие есть появление га успехов среди 2га испытаний.) Выведите отсюда тождество

п к=0

6.4-7* Покажите, что для 0 к га,

Ъ(к;п,1/2) <С 2пН~п, где Н(х) - функция энтропии (6.13).

6.4-8* Рассмотрим га независимых испытаний. Пусть pi - вероятность успеха в г-м испытании, а случайная величина X есть количество успехов во всех этих испытаниях. Пусть р рг- для всех г = 1, 2,..., га. Докажите, что

к-1

Р{Х <к}<: 2b(i;n,p)

г=0

при любом к = 1, 2,..., га.

6.4-9* Рассмотрим случайную величину X, равную числу успехов в га испытаниях с вероятностями успеха pi,...,pn. Пусть X - аналогичная случайная величина, для которой вероятности успеха равны р[,.. .,рп. Пусть р pi при всех г. Докажите, что

Р{Х к} Р{Х к}.

при любом к = 0,..., га

(Указание: можно считать, что результаты второй серии испытаний получаются так: сначала делается первая серия, а потом её результаты корректируются случайным образом в сторону увеличения. Используйте результат упражнения 3.3-6.)

6.5. Хвосты биномиального распределения

В оригинале со Во многих задачах важна вероятность не в точности к успехов звездой! ПРИ биномиальном распределении, а не менее к успехов (или не бо-

лее к успехов). В этом разделе мы исследуем этот вопрос, оценив хвосты (tails) биномиального распределения. Такие оценки показывают, что большие отклонения числа успехов от математического ожидания (пр) маловероятны.

Сначала получим оценку для правого хвоста распределения Ь(к; п,р). Оценки для левого хвоста симметричны (успехи меняются местами с неудачами).

Теорема 6.2. Пусть X - число успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р. Тогда

п

Р{Хк} = 2ь(г;п,р)<:Скпрк.

г = к

Доказательство. Воспользуемся неравенством (6.15):

s~~ik-\-i / s~~ik s~~ii пnn - k

Заметим, что

п

Р{Х k} = J2b(i;n,P)

i=k n - k

-b(k + г; n, р) i=o

n - k

= /2cn+lpk+l("- -p)n-{k+l

8 = 0

n - k

Y.CnCn-kPk+l-P)n~ik+l) i=0

n - k

i=0 n - k

= СкпРкЪ(цп-к,р)

8 = 0

-Ckr>k

так как 227=0= 1 по формуле (6.38).□

Переписывая это утверждение для левого хвоста, получаем такое

Следствие 6.3. Пусть X - число успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р. Тогда

к

Р{х <:k} = J2Hi;п,р) Спа~к{1 - р)п~к = Ск(1-р)п~к.

8 = 0