Рис. 6.1 Геометрическое распределение с вероятностью успеха р = 1/3 и вероятностью неудачи q = 1 - р. Математическое ожидание равно 1/р = 3.

образом; получится, что

D[X] = q/p2.(6.35)

Пример: будем бросать пару костей, пока в сумме не выпадет или семь или одиннадцать. Для одного эксперимента есть 36 возможных исходов, в 6 из них получается семь и в 2 получается одиннадцать. Поэтому вероятность успеха р равна 8/36 = 2/9, и нам в среднем придётся 1/р = 9/2 = 4,5 раза бросить кости, чтобы выпало семь или одиннадцать.

Биномиальное распределение

Рассмотрим га испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q = 1 - р. Пусть случайная величина X - количество успехов в га испытаниях. Её значение может быть равно 0,1,..., га, и

Р{Х = к} = Скпрк{1 -р)п~к,(6.36)

для любого к = 0,1,..., га так как имеется Ск способов выбрать из га испытаний к удачных, и вероятность каждого такого случая будет pkqn~k. Распределение (6.36) называют биномиальным (binomial distribution). Для биномиальных распределений мы используем

Рис. 6.2 Биномиальное распределение b(k; 15; 1/3), порождаемое п = 15 испытаниями по схеме Бернулли, каждое из которых имеет вероятность успеха р = 1/3. Математическое ожидание равно пр = 5.

обозначение

b(k-n,p) = CknPk(l-p)n-k.(6.37)

Пример биномиального распределения показан на рисунке 6.2. Название «биномиальное» связано с тем, что правая часть формулы (6.37) - это k-ъ член бинома Ньютона (p-\-q)n. Вспоминая, что р + q = 1, получаем

п

J2b(k;n,p) = l,(6.38)

к=0

как и должно быть (аксиома 2).

Математическое ожидание для случайной величины, имеющей биномиальное распределение, можно вычислить с помощью (6.14) и (6.38). Пусть X - случайная величина, имеющая биномиальное распределение Ь(к; п,р). Положим q = 1 - р. По определению мате-

Глава 6 Комбинаторика и вероятность матического ожидания, имеем

ЩХ]

kb(k; га, р)

п - к

к=0

п

к=1

п

npCtlp-q к=1

п-1

прСкп-1РкЧ[п-1

к=0 п-1

пр у Ь[к; га - 1,р)

)-к

к=0

пр.

(6.39)

Тот же самый результат почти без вычислений можно получить так: пусть Х{ - количество успехов в г-м испытании (которое равно 0 с вероятностью q и равно 1 с вероятностью р). Тогда М[Хг] = р 1 A- q § = р. Остаётся заметить, что X = Х\ + ... + Хп, и потому по свойству линейности (6.26)

ЩХ] = м

Ь=1

£М[Хг] = £р=гар.

г = 1

г = 1

Подобным образом можно вычислить и дисперсию. Из (6.29) следует, что d[X4-] = М[Х2] - М2[Хг]. Поскольку Х{ принимает лишь значения 0 и 1, то М[Х2] = М[Хг] = р, и, значит,

0[Х{] =р-р2

pq.

(6.40)

Теперь воспользуемся независимостью испытаний и формулой (6.31):

D[X] = d

.8 = 1

X:

Е

г = 1

0[Х{]

у рд = npq.

i=l

(6.41)

На рисунке 6.2 видно, что Ь(к;п,р) как функция от к сначала увеличивается, пока к не достигнет значения пр, а затем уменьшается. Это можно проверить, вычислив отношение двух последова-